Скалярная матрица

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

$A_{n}={\begin{pmatrix}a&0&\cdots &0&0\\0&a&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &a&0\\0&0&\cdots &0&a\end{pmatrix}}$

Свойства

• Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.

$a\cdot E_{n}=A_{n}$

• Множество скалярных матриц — это ровно все те матрицы, которые коммутируют со всеми квадратными матрицами того же размера, то есть для любой матрицы $S$ и скалярной матрицы $A$ того же размера: $AS=SA.$
• $\operatorname {det} A_{n}=a^{n}$
• $\operatorname {rang} A_{n}={\begin{cases}n,&a\not =0\\0,&a=0.\end{cases}}$
• $A_{n}^{-1}={\frac {1}{a}}E_{n}$, где $E_{n}$ - единичная матрица
• Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).