Спектр сигнала

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональных функций. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

Базисные функции

В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

• функции $cos(\omega t)$, $sin(\omega t)$ являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
• гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
• для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
• гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышева и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Применение

Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.

На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.

Математическое представление

Если под сигналом $s(t)$ понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то спектр этого сигнала $S(\omega )$ можно записать следующим образом:

$S(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-i\omega t}dt$, где $\omega$ — угловая частота равная $2\pi f$.

Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: $S(\omega )=A(\omega )e^{-i\phi (\omega )}$, где $A(\omega )$ — амплитудно-частотная характеристика сигнала, $\phi (\omega )$ — фазо-частотная характеристика сигнала.

Энергия сигнала, выделяемая на резисторе, будет равна $\int \limits _{-T/2}^{T/2}|(s(t)|^{2}dt$, средняя мощность — ${\frac {1}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}|(s(t)|^{2}dt$.

См. также

• Спектральная плотность
• Преобразование Фурье

Литература

• Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. — М.: «Сов. радио», 1977. — 608 с. : Учебник для вузов, .
• Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2003. — 442 с. — 12 000 экз. экз. — ISBN 5-06-003843-2. , 1987.
• Рабинер, Голд. Теория и практика цифровой обработки сигналов.