Решение систем линейных алгебраических уравнений

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:
$\left\{{\begin{array}{ccc}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}&=&0\\\ldots &&\\a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{array}}\right.\iff A_{m\times n}{\vec {x}}={\vec {0}},\quad A_{m\times n}=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\ldots &&\\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{array}}\right)\qquad (1)$

Нулевое решение ${\vec {x}}=(0,\ldots ,0)\!$ системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Решения однородной системы обладают свойством линейности:

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть ${\vec {x}}^{1},\ldots ,{\vec {x}}^{k}\!$ — решения однородной системы (1), $c_{1},\ldots ,c_{k}\!$ — произвольные константы. Тогда ${\vec {x}}^{*}=c_{1}{\vec {x}}^{1}+\ldots +c_{k}{\vec {x}}^{k}\!$ также является решением рассматриваемой системы.

Сформулируем теорему, которая позволит дать основное определение:

Теорема (о структуре общего решения). Пусть $r=\mathrm {rang} A\!$, тогда: если $r=n\!$, где $n\!$ — число переменных системы, то существует только тривиальное решение; если $r<n\!$, то существует $(n-r)\!$ линейно независимых решений рассматриваемой системы: ${\vec {x}}^{1},\ldots ,{\vec {x}}^{n-r}\!$, причём её общее решение имеет вид: ${\vec {x}}_{OO}=c_{1}{\vec {x}}^{1}+\ldots +c_{n-r}{\vec {x}}^{n-r}\!$, где $c_{1},\ldots ,c_{n-r}\!$ — некоторые константы.

Пусть дана однородная система (1), тогда набор векторов ${\vec {y}}^{1},\ldots ,{\vec {y}}^{k}\!$ размера $n\!$ называется фундаментальной системой решений (ФСР) (1), если:

• ${\vec {y}}^{1},\ldots ,{\vec {y}}^{k}\!$ — решения системы (1);
• ${\vec {y}}^{1},\ldots ,{\vec {y}}^{k}\!$ линейно независимы;
• $\forall {\vec {x}}^{*}:\;A{\vec {x}}^{*}={\vec {0}}\qquad \exists !c_{1},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {R} :\;{\vec {x}}^{*}=c_{1}{\vec {y}}^{1}+\ldots +c_{k}{\vec {y}}^{k}\!$.

Теорема (о ФСР). Пусть ранг основной матрицы $\mathrm {rang} A=r<n\!$, где $n\!$ — число переменных системы (1), тогда: ФСР (1) существует: ${\vec {y}}^{1},\ldots ,{\vec {y}}^{k}\!$; она состоит из $k=(n-\mathrm {rang} A_{m\times n})\!$ векторов; общее решение системы имеет вид ${\vec {x}}_{OO}=c_{1}{\vec {y}}^{1}+\ldots +c_{n-r}{\vec {y}}^{n-r}$. Замечание: Если $n=r\!$, то ФСР не существует.

Пример

Решим систему
$\left\{{\begin{array}{ccccccccc}x_{1}&+&x_{2}&+&2x_{3}&+&x_{4}&=&0\\3x_{1}&+&2x_{2}&+&x_{3}&+&3x_{4}&=&0\\2x_{1}&+&{\frac {3}{2}}x_{2}&+&{\frac {3}{2}}x_{3}&+&2x_{4}&=&0\end{array}}\right.$

Перепишем её в матричном виде:

$\left({\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\3&2&1&3\\2&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{2}}&2\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}}\right)$

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

$\left({\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\3&2&1&3\\2&{\frac {3}{2}}&{\frac {3}{2}}&2\end{array}}\right)\sim \left({\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\0&-1&-5&0\\0&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {5}{2}}&0\end{array}}\right)\sim \left({\begin{array}{cccc}1&1&2&1\\0&1&5&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует $(n-r)=2\!$ линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

$\left\{{\begin{array}{ccccccccc}x_{1}&+&x_{2}&+&2x_{3}&+&x_{4}&=&0\\&&x_{2}&+&5x_{3}&&&=&0\end{array}}\right.$

Возьмём $x_{1}\!$ и $x_{2}\!$ в качестве главных переменных. Тогда:

$\left\{{\begin{array}{ccccc}x_{1}&=&3x_{3}&-&x_{4}\\x_{2}&=&-5x_{3}&&\end{array}}\right.$

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных: $x_{3}\!$ и $x_{4}\!$.

${\begin{array}{c|c|c|c|c}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\\hline {\vec {x}}^{1}&3&-5&1&0\\\hline {\vec {x}}^{2}&-1&0&0&1\end{array}}$

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

${\vec {x}}_{OO}=c_{1}\left({\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0\end{array}}\right)+c_{2}\left({\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}}\right)\!$,

а вектора ${\vec {x}}^{1}=\left({\begin{array}{c}3\\-5\\1\\0\end{array}}\right),\;{\vec {x}}^{2}=\left({\begin{array}{c}-1\\0\\0\\1\end{array}}\right)\!$ составляют фундаментальную систему решений.

Неоднородные системы

Неоднородной системой линейных уравнений называется система вида:
$\left\{{\begin{array}{ccc}a_{11}x_{1}+\ldots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\\ldots &&\\a_{m1}x_{1}+\ldots +a_{mn}x_{n}&=&b_{m}\end{array}}\right.\iff A_{m\times n}{\vec {x}}={\vec {b}},\quad A_{m\times n}=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\ldots &&\\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{array}}\right),\quad {\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{array}}\right)\qquad (2)$

${\tilde {A}}_{m\times (n+1)}=\left({\begin{array}{ccc|c}a_{11}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\\ldots &&&\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right)$ — её расширенная матрица.

Теорема (об общем решении неоднородных систем). Пусть $r=\mathrm {rang} A=\mathrm {rang} {\tilde {A}}\!$ (т.е. система (2) совместна), тогда: если $r=n\!$, где $n\!$ — число переменных системы (2), то решение (2) существует и оно единственно; если $r<n\!$, то общее решение системы (2) имеет вид ${\vec {x}}_{OH}={\vec {x}}_{OO}+{\vec {x}}_{4H}\!$, где ${\vec {x}}_{OO}\!$ — общее решение системы (1), называемое общим однородным решением, ${\vec {x}}_{4H}\!$ — частное решение системы (2), называемое частным неоднородным решением.

Пример

Заяц имеет ослов систему
$\left\{{\begin{array}{ccccccccc}x_{1}&+&2x_{2}&-&3x_{3}&+&x_{4}&=&1\\&&&&3x_{3}&+&x_{4}&=&4\\&&&&x_{3}&+&2x_{4}&=&3\end{array}}\right.$

Преобразуем её к
$\left\{{\begin{array}{ccccccccc}x_{1}&+&2x_{2}&-&3x_{3}&+&x_{4}&=&1\\&&&&x_{3}&+&2x_{4}&=&3\\&&&&&&x_{4}&=&1\end{array}}\right.$

Тогда переменные $x_{4}=1\!$ и $x_{3}=1\!$ обязательно будут главными, возьмём также $x_{2}\!$ в качестве главной.

Заметим, что ${\vec {x}}=\left(1,1,1,1\right)\!$ является частным решением.

Составим однородную систему:
$\left\{{\begin{array}{ccccccccc}x_{1}&+&2x_{2}&-&3x_{3}&+&x_{4}&=&0\\&&&&x_{3}&+&2x_{4}&=&0\\&&&&&&x_{4}&=&0\end{array}}\right.$

Тогда, подставив единицу в качестве свободной переменной $x_{1}\!$, получим ФСР однородной системы:

${\begin{array}{c|c|c|c|c}&x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\\hline {\vec {x}}&1&-{\frac {1}{2}}&0&0\end{array}}$

Общее решение системы может быть записано так:

${\vec {x}}_{OH}=c\left({\begin{array}{c}1\\-{\frac {1}{2}}\\0\\0\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}1\\1\\1\\1\end{array}}\right)\!$

Литература

Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

См. также

• Линейная независимость
• Теорема Кронекера-Капелли
• Матричный метод
• Метод Жордана-Гаусса
• Метод Крамера
• Фундаментальная матрица