Внутренняя метрика

Внутренняя метрика — тип метрик такой, что для любой пары точек есть точка, находящаяся почти на полпути между ними.

Определение

Метрика $\rho$ на пространстве $X$ называется внутренней если для любых двух точек $x,y\in X$ и $\varepsilon >0$ найдётся их $\varepsilon$-середина, то есть точка $z_{\epsilon }$ такая что

$\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2}}\rho (x,y)+\varepsilon .$

Связанные определения

• Метрическое пространство $(X,\rho )$ называется геодезическим, если любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей.

Свойства

• Полное метрическое пространство $(X,\rho )$ с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек $x,y\in X$ и $\varepsilon >0$ найдётся кривая длины $<\rho (x,y)+\varepsilon$ соединяющая $x$ и $y$
• Теорема Хопфа — Ринова: Если $(X,\rho )$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей.
  • Более того, пространство $X$ является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества $X$ являются компактными)

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии, ISBN 5-93972-300-4