Гаммирование

Гамми́рование — метод симметричного шифрования, заключающийся в «наложении» последовательности, состоящей из случайных чисел, на открытый текст. Последовательность случайных чисел называется гамма-последовательностью и используется для зашифровывания и расшифровывания данных. Суммирование, обычно, выполняется в каком-либо конечном поле. Например, в поле Галуа GF(2) суммирование принимает вид операции «исключающее ИЛИ (xor)».

Визуальное представление

Схема передатчика.

Схема приёмника.

Стойкость

Клод Шеннон доказал, что при определённых свойствах гаммы этот метод шифрования является абсолютно стойким (то есть, не поддающимся взлому).

Доказательство Шеннона.

Пусть X, Y и Z — дискретные случайные величины.

Пусть:

• X — значение бита открытого текста; то есть, переменная X (бит) способна принимать два значения: 0 и 1;
• p — вероятность события, заключающегося в том, что переменная X примет значение 0;
• (1-p) — вероятность протовоположного события (то есть, вероятность того, что переменная X примет значение 1).

Запишем закон распределения значений X:

X	0	1
Pi	p	1-p

Используем p и 1-p, так как вероятность встретить одну букву в разных словах различна.

Пусть:

• Y — бит псевдослучайной последовательности (гаммы); то есть, переменная Y (бит) способна принимать два значения: 0 и 1;
• каждое из значений Y равновероятно; то есть, вероятности получить 0 или 1 равны 1/2.

Запишем закон распределения значений Y:

Y	0	1
Pi	1/2	1/2

Иными словами, в качестве гаммы (Y) подаётся одинаковое количество нулей и единиц, или значения переменной Y имеют симметричный закон распределения.

Пусть:

• Z — бит закрытого текста; то есть, переменная Z (бит) способна принимать два значения: 0 и 1;
• значение Z вычисляется на основе значений X и Y по формуле:

Z = X+Y (mod 2)

или

Z = xor( X, Y )

или

Z = X ⊕ Y

Найдём следующие вероятности:

• P(Z=0) — вероятность события, заключающегося в том, что переменная Z принимает значение 0;
• P(Z=1) — вероятность события, заключающегося в том, что переменная Z принимает значение 1.

Используем формулы:

• сложения вероятностей несовместных событий:

P(A+B) = P(A) + P(B);

• умножения вероятностей независимых событий:

P(A*B) = P(A) * P(B).

Вероятность того, что переменная Z примет значение 0:

P(Z=0) = P( X=0, Y=0 ) + P( X=1, Y=1 ) =
       = P(X=0) * P(Y=0) + P(X=1) * P(Y=1) =
       = p * 1/2 + (1-p) * 1/2 = 1/2.

Вероятность того, что переменная Z примет значение 1:

P(Z=1) = 1 - P(Z=0) = 1/2.

Так как P(Z=0) и P(Z=1) не зависят от p, p может принимать любое значение.

Запишем закон распределения значений переменной Z:

Z	0	1
Pi	1/2	1/2

Закон распределения Z оказался симметричным, как и закон распределения гамма (Y) или шум. То есть, Z не содержит никакую информацию из X (в Z нет p). Это доказывает, что шифр является абсолютно стойким.

Требования к гамме

• Для каждого сообщения использовать новую гамму (повторное использование гаммы недопустимо).

• Для формирования гаммы использовать аппаратные генераторы случайных чисел на основе физических процессов.

• Длина гаммы должна быть не меньше длины защищаемого сообщения.

Литература

• Ященко В. В. Введение в криптографию.

См. также

• Псевдослучайная последовательность