Дивергенция

Дивергенция (лат. divergere- обнаруживать расхождение) — скалярный дифференциальный оператор векторного поля, который показывает, насколько поле имеет тенденцию расходиться из данной точки.

Определение

Оператор дивергенции обозначается так: div F.

Допустим, что векторное поле дифференцируемо в некоторой области. Тогда в трёхмерном декартовом пространстве дивергенция будет определяться выражением

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

Это же выражение можно записать с использованием оператора набла

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F}$

Многомерная, а также двумерная и одномерная, дивергенция определяется совершенно аналогично.

Физическая интерпретация

С точки зрения физики, дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля. То есть, альтернативное определение дивергенции выглядит:

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\lim _{S\rightarrow 0}{\Phi _{\mathbf {F} } \over V}$

где Ф — поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объем V. Еще более общим, а потому удобным в применении является это определение, когда форма области с поверхностью S и объемом V допускается любой, единственным требованием является ее нахождение ынутри сферы радиусом стремящимся к нулю. Это определение применимо, в отличие от первого, не привязано к определенным координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определенных случаях.

$\operatorname {div} \,\mathbf {F} >0$ точка поля является источником
$\operatorname {div} \,\mathbf {F} <0$ точка поля является стоком
$\operatorname {div} \,\mathbf {F} =0$ стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга

Например, если в качестве векторного поля взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причём на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся).

Свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {div} (\mathbf {F} )+b\;\operatorname {div} (\mathbf {G} )$

для любых векторных полей F и G и для всех действительных чисел a и b.

• Если φ — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} (\varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {div} (\mathbf {F} ),$

или

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

• Свойство, связывающее векторные поля F и G, заданные в трехмерном пространстве, с ротором:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} \;-\;\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} (\mathbf {G} ),$

или

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

• Дивергенция от градиента есть лапласиан:

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} (\varphi ))={\mathcal {4}}\varphi$

• Дивергенция от ротора:

$\operatorname {div} (\operatorname {rot} (\mathbf {F} ))=0$

Дивергенция в ортогональных криволинейных координатах

$\operatorname {div} (\mathbf {A} )=\operatorname {div} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{1}H_{2}H_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{2}H_{3}H_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{3}H_{1}H_{2})\right]$, где H_i — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=1\end{matrix}}$.

Отсюда:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (r,\theta ,z)={\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{1}r)+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{2})+{\frac {\partial }{\partial z}}(A_{3}r)\right]$

Сферические координаты

Коэффициенты Ламе:

${\begin{matrix}H_{1}=1\\H_{2}=r\\H_{3}=r\sin {\theta }\end{matrix}}$.

Отсюда:

$\operatorname {div} \mathbf {A} (r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}\sin {\theta }}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(A_{1}r^{2}\sin {\theta })+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(A_{2}r\sin {\theta })+{\frac {\partial }{\partial \phi }}(A_{3}r)\right]$

См. также

• Векторный анализ
• Теорема Остроградского — Гаусса
• Ротор
• Градиент
• Оператор набла
• Лапласиан
• Формулы векторного анализа