Поверхность

Пример простой поверхности

Пове́рхность — геометрическое понятие, при логическом уточнении этого понятия в разных разделах геометрии ему придаётся различный смысл.

В элементарной геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые «кривые поверхности». При этом каждая поверхность определяется специальным способом, без общего определения, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, сфера — множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром сферы. Понятие «поверхности» лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что поверхность есть граница тела или след движущейся линии.

В современной геометрии поверхностью называют двумерное многообразие или двумерное подмногообразие, но иногда этим словом обозначают произвольное подмногообразие.

Математически строгое определение поверхности основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям, (растяжениям, сжатиям и изгибаниям).

Поверхность в пространстве

Более точно, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (то есть взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности квадрата. Этому определению можно дать аналитическое выражение.

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = X(u, v), у = Y(u, v), z = Z(u, v)(параметрическое задание поверхности). При этом от функций X(u, v), Y(u, v) и Z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u', v') были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x', у', z').

Примером простой поверхности является полусфера. Вся же сфера не является простой поверхностью. Это вызывает необходимость дальнейшего обобщения понятия поверхности.

Подмножество пространства, у каждой точки которого есть окрестность, являющаяся простой поверхностью, называется правильной поверхностью.

Поверхность в аналитической геометрии

В аналитической геометрии и в алгебраической геометрии поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений:

$F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1)$

Таким образом определённая поверхность может и не иметь наглядного геометрического образа. В этом случае для сохранения общности говорят о мнимых поверхностях. Например, уравнение:

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+1=0\qquad (2)$

определяет мнимую сферу, хотя в действительном пространстве нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют такому уравнению (см. также Поверхности второго порядка). Если функция $F(x,\,y,\,z)$ непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью.

Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, например z, можно выразить через остальные:

$z=f(x,y)\qquad (1')$

Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:

$\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{array}}\right.\qquad (1'')$

Поверхность в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это — условия гладкости поверхности, то есть существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т. д. Эти требования сводятся к тому, что функции, задающие поверхность, предполагаются однократно, дважды, трижды, а в некоторых вопросах — неограниченное число раз дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. При этом дополнительно накладывается условие невырождености.

• Случай неявного задания

Поверхность, заданная уравением $F(x,\,y,\,z)=0,\;F:\Omega \to \mathbb {R} ^{3}$, является гладкой, если $\exists P_{0}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0}):\;F(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})=0$, функция $F$ непрерывно дифференцируема в свой области определения $\Omega$, а её частные производные одновременно не обращаются в нуль на всём множестве $\Omega$: $\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}>0$

• Случай явного задания

Поверхность $S$, заданная одним из уравнений $z=f_{1}(x,y),\;y=f_{2}(z,x),\;x=f_{3}(y,z)$, является гладкой, если для любой точки $P_{0}(x_{0},\,y_{0},\,z_{0})$ этой поверхности существует прямоугольный параллелепипед $\Delta =\{|x-x_{0}|\leq \delta _{1},\;|y-y_{0}|\leq \delta _{2},\;|z-z_{0}|\leq \delta _{3}\}$, для которого $\sigma =S\cap \Delta$ является графиком по крайней мере одной из функций $z=f_{1}(x,y),\;\{|x-x_{0}|\leq \delta _{1},\;|y-y_{0}|\leq \delta _{2},\}$; $y=f_{2}(z,x),\;\{|x-x_{0}|\leq \delta _{1},\;|z-z_{0}|\leq \delta _{3}\}$; $x=f_{3}(y,z),\;\{|y-y_{0}|\leq \delta _{2},\;|z-z_{0}|\leq \delta _{3}\}$, где $f_{1},\;f_{2},\;f_{3}$ непрерывно дифференцируемы в своих областях определения.

• Случай параметрического задания

Поверхность, заданная системой

$\left\{{\begin{array}{ccc}x&=&X(u,v)\\y&=&Y(u,v)\\z&=&Z(u,v)\end{array}}\right.\quad (u,\,v)\in \Omega$

является гладкой, если эта система устанавливает взаимно однозначное соответствие между образом и прообразом $\Omega$, функции $X(u,v),\,Y(u,v),\,Z(u,v)$ непрерывно дифференцируемы в $\Omega$, выполнено условие невырождености: ${\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u}&Y'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y'_{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}^{2}>0$

Свойства поверхностей

С точки зрения топологического строения, поверхности как двумерные многообразия бывают:

• замкнутые и открытые,
• ориентируемые и неориентируемые
• и т. д.

Нормаль

Одной из основных характеристик поверхности является её нормаль — вектор, перпендикулярный касательной плоскости, проведённой к поверхности в заданной точке. Формулы вычисления нормалей поверхностей представленны ниже.

	нормаль в точке поверхности	уравнение касательной к поверхности в заданой точке
неявное задание	${\frac {\left({\frac {\partial F}{\partial x}};\,{\frac {\partial F}{\partial y}};\,{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial F}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial F}{\partial z}}\right)^{2}}}}$	${\frac {\partial F}{\partial x}}_{x_{0}}(x-x_{0})+{\frac {\partial F}{\partial y}}_{y_{0}}(y-y_{0})+{\frac {\partial F}{\partial z}}_{z_{0}}(z-z_{0})=0$
явное задание	${\frac {\left(-{\frac {\partial f}{\partial x}};\,-{\frac {\partial f}{\partial y}};\,1\right)}{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}}$	${\frac {\partial f}{\partial x}}_{x_{0}}(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}_{y_{0}}(y-y_{0})=(z-z_{0})$
параметрическое задание	${\frac {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(y,z)}{D(u,v)}};\,{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}}$	${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(x-x_{0})+{\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(y-y_{0})+{\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}_{u_{0},v_{0}}(z-z_{0})=0$

Где ${\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}X'_{u}&X'_{v}\\Y'_{u}&Y'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}Y'_{u}&Y'_{v}\\Z'_{u}&Z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}Z'_{u}&Z'_{v}\\X'_{u}&X'_{v}\end{vmatrix}}$.

Площадь

Ещё одно важное свойство поверхности — это её площадь.

	явное задание	параметрическое задание
выражение для площади	$\iint \,{\sqrt {\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}+1}}\;\mathrm {d} \,x\mathrm {d} \,y$	$\iint \,{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\mathrm {d} \,v$	$\iint \,[{\dot {r}}_{u}\times {\dot {r}}_{v}]\;\mathrm {d} \,u\mathrm {d} \,v$

Где ${\dot {r}}_{u}=\left({\frac {\partial x}{\partial u}},\,{\frac {\partial y}{\partial u}},\,{\frac {\partial z}{\partial u}}\right),\quad {\dot {r}}_{v}=\left({\frac {\partial x}{\partial v}},\,{\frac {\partial y}{\partial v}},\,{\frac {\partial z}{\partial v}}\right)$

Ориентация

Также важной характеристикой поверхности является её ориентация.

Поверхность называется двусторонней, если на всей её протяжённости она обладает непрерывным вектором единичной нормали. В противном случае поверхность называют односторонней.

Ориентированной называется двусторонняя поверхность с выбранным направлением единичной нормали.

Примерами односторонних, а следовательно и неориентируемых поверхностей являются бутылка Клейна или лента Мёбиуса.