Внутренняя метрика

Внутренняя метрика — метрика пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфинум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определение

Пусть задано топологическое пространство $X$ и выбран класс некоторых допустимых путей $\Gamma$, содержащийся во множестве всех непрерывных путей в $X$.

• На пространстве $X$ задан функционал длины, если на множестве $\Gamma$ задана функция $L\colon \Gamma \to \mathbb {R} _{+}\cup \infty$, ставящая в соответствие каждому $\gamma \in \Gamma$ значение $L(\gamma )$ (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути $\gamma$.

• Метрика $\rho$ на пространстве $X$ называется внутренней, если для любых двух точек $x,y\in X$ расстояние между ними определяется формулой $\rho (x,y)=\inf\{L(\gamma )\},$ где инфинум берётся по всех допустимым путям, соединяющим точки $x,y\in X$.

Связанные определения

• Пусть $x,y\in X$ — две произвольные точки метрического пространства $\rho ,X$ и $\varepsilon$ — произвольное положительное число. Точка $z_{\epsilon }\in X$ называется их $\varepsilon$-серединой, если $\rho (x,z_{\varepsilon }),\ \rho (y,z_{\varepsilon })<{\tfrac {1}{2}}\rho (x,y)+\varepsilon .$

• Метрическое пространство $(X,\rho )$ называется геодезическим, если любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей.

Свойства

• Если $(X,\rho )$ — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек $x,y\in X$ и любого $\varepsilon >0$ существует их $\varepsilon$-середина. В случае, когда метрическое пространство $(X,\rho )$ полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек $x,y\in X$ и любого $\varepsilon >0$ существует их $\varepsilon$-середина, то эта метрика внутренняя.
• Полное метрическое пространство $(X,\rho )$ с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек $x,y\in X$ и $\varepsilon >0$ найдётся кривая длины $<\rho (x,y)+\varepsilon ,$ соединяющая $x$ и $y$.
• Теорема Хопфа — Ринова: Если $(X,\rho )$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки $X$ можно соединить кратчайшей. Более того, пространство $X$ является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества $X$ являются компактными).

Литература

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии, ISBN 5-93972-300-4