Эпиморфизм

Эпиморфи́зм в категории ― морфизм $m:A\to B$, такой что из всякого равенства $f\circ m=h\circ m$ следует $f=h$ (другими словами, на $m$ можно сокращать справа).

Эпиморфизмы представляют собой категорный аналог понятия сюръективной функции, но это не одно и то же. Двойственным к понятию эпиморфизм является понятие мономорфизма; эпиморфзим, являющийся одновременно и мономорфизмом, называется биморфизмом.

Примеры

Каждый морфизм в конкретной категории, которому соответствует сюръективная функция, является эпиморфизмом. Например, сюръективный гомоморфизм групп или графов. Во многих категориях обратное тоже верно. Например, это верно в категориях множеств, групп, абелевых групп, векторных пространств, правых модулей и топологических пространств. Однако, например, в категории колец вложение $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$ — несюръективный эпиморфизм (и, кроме того, биморфизм, не являющийся изоморфизмом).

Свойства

Любой морфизм, имеющий обратный справа, является эпиморфизмом. Действительно, если существует морфизм $j:Y\to X$, такой что $m\circ j=\mathrm {Id} _{Y}$, то легко проверить, что $m$ — эпиморфизм, домножив равенство $f\circ m=h\circ m$ на $j$ справа. Композиция двух эпиморфизмов — снова эпиморфизм. Если композиция $m\circ j$ двух морфизмов — эпиморфизм, то $m$ должен быть эпиморфизмом.

Как и многие концепции в теории категорий, эпиморфность сохраняется при эквивалентности категорий, $m$ является эпиморфизмом в одной категории тогда и только тогда, когда он является эпиморфизмом в другой.

Определение эпиморфизма можно переформулировать таким способом: $m:X\to Y$ — эпиморфизм тогда и только тогда, когда индуцированное отображение:

${\begin{matrix}\operatorname {Hom} (Y,Z)&\rightarrow &\operatorname {Hom} (X,Z)\\g&\mapsto &gm\end{matrix}}$

инъективно для всех $Z$.

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1.