Минимальная поверхность

Минимальная поверхность — гладкая поверхность с нулевой средней кривизной. Название объясняется тем, что гладкая поверхность с заданным контуром минимизирующая площадь является минимальной.

Примеры

• Геликоид
• Катеноид
• Поверхность Эннепера

Свойства

• Асимптотические линии на минимальной поверхности образуют изотермическую сеть.
• Вообще говоря мнимальная поверхность с краем может не иметь минимальной площади среди всех поверхностей с данным контуром. Но любая точка минимальной поверхности содержится в диске минимизирущем площадь при данном контуре.
  • Более того, если компактная минимальная поверхность является графиком $z=f(x,y)$ гладкой функции, то она является минимизирует площадь среди всехповерхностей с данной границей.
• Формула монотонности

История

Первые исследования минимальных поверхностей восходят к Лагранжу (1768), который рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде $z=f(x,y)$, Лагранж получил, что эта функция должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа.

Позже Монж (1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию $H=0$, и поэтому за поверхностями с $H=0$ закрепилось название «минимальные». В действительности, однако, нужно различать понятия минимальной поверхности и поверхности наименьшей площади, так как условие $H=0$ представляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать вторую вариацию площади поверхности.

Ссылки

• Евгений Степанов Видео-лекции: минимальные поверхности  (рус.)