Дискриминант: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

(Показать все непатрулированные изменения)

[отпатрулированная версия]

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка Следующая правка →

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Версия от 13:47, 19 ноября 2019

Дискриминант - это достаточно странное и бесполезное создание

Коментарии с места событий: "Мы не знаем что это такое, если бы мы знали что это такое - мы не знаем что это такое", "На этом наши полномочия всё"!

Всем спасибо за внимание! *Спасите....*

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+Дискриминант - это достаточно странное и бесполезное создание
-{{значения|Дискриминант (значения)}}
+Коментарии с места событий: "Мы не знаем что это такое, если бы мы знали что это такое - мы не знаем что это такое", "На этом наши полномочия всё"!
-'''Дискримина́нт''' [[многочлен]]а
-<math>p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n</math>, <math>a_n \neq 0</math>, есть произведение
-: <math>D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>,
-: где <math>\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_n</math> — все [[Корень многочлена|корни многочлена]] (с учётом кратностей) в некотором [[Расширение поля|расширении]] основного поля, в котором они существуют.
+Всем спасибо за внимание! *Спасите....*
-Чаще всего используется дискриминант квадратного трёхчлена{{Переход|#Многочлен второй степени}}, знак которого определяет количество действительных корней.
-== Свойства ==
-* Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
-* Дискриминант является [[симметрический многочлен|симметрическим многочленом]] относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена [[целое число|целые]] независимо от [[Расширение поля|расширения]], в котором берутся корни.
-* <math>D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p')</math>, где <math>R(p,p')</math> — [[результант]] многочлена <math>p(x)</math> и его производной <math>p'(x)</math>.
-** В частности, дискриминант многочлена
-::: <math>p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0</math>
-:: равен, с точностью до знака, следующему [[определитель|определителю]] <math>(2n-1)\times(2n-1)</math>-[[матрица (математика)|матрицы]]:
-[[Файл:Матрица 2.0.PNG|700px]]
-== Примеры ==
-Во всех следующих примерах рассматриваются многочлены с вещественными коэффициентами и отличным от нуля старшим коэффициентом.
-=== Многочлен второй степени ===
-Дискриминант квадратного трёхчлена <math>ax^2+bx+c</math> равен <math>D = b^2-4ac.</math>
-* При <math>D > 0</math> вещественных корней — два, и они вычисляются по формуле
-: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>.
-* При <math>D = 0</math> корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
-: <math>x = \frac{-b}{2a}</math>.
-* При <math>D < 0</math> вещественных корней нет. Существуют два [[комплексные числа|комплексных]] корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
-: <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}</math>.
-=== Многочлен третьей степени ===
-Дискриминант кубического многочлена <math>ax^3+bx^2+cx+d</math> равен
-: <math> D = b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.</math>
-В частности, дискриминант кубического многочлена <math>x^3+px+q</math> (корни которого вычисляются по [[формула Кардано|формуле Кардано]]) равен <math>-27q^2-4p^3</math>.
-* При <math>D > 0</math> кубический многочлен имеет три различных вещественных корня.
-* При <math>D = 0</math> он имеет кратный корень (либо один корень кратности 2 и один корень кратности 1, и тот, и другой вещественные; либо один-единственный вещественный корень кратности 3).
-* При <math>D < 0</math> кубический многочлен имеет один вещественный корень и два комплексных корня (являющихся комплексно-сопряженными).
-=== Многочлен четвертой степени ===
-Дискриминант многочлена четвертой степени <math>ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e</math> равен
-: <math>\begin{align}
-&D = 256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4 \\
-&+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e \\
-&- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2.
-\end{align} </math>
-Для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math> дискриминант имеет вид
-: <math>D=256 s^3 - 128 q^2 s^2 + 144 q r^2 s - 27 r^4 + 16 q^4 s - 4 q^3 r^2</math>
-и равенство <math>D=0</math> определяет в пространстве <math>(q,r,s)</math> поверхность, называемую [[Ласточкин хвост (поверхность)|ласточкиным хвостом]].
-* При <math>D < 0</math> многочлен имеет два различных вещественных корня и два комплексных корня.
-* При <math>D > 0</math> многочлен имеет четыре различных корня: либо все вещественные, либо все комплексные.
-: А именно, для многочлена <math>x^4+qx^2+rx+s</math>:<ref name=autogenerated1>{{статья |заглавие=Graphical Discussion of the Roots of a Quartic Equation |издание=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]] |том=29 |номер=2 |страницы=51—55 |ссылка=https://www.jstor.org/stable/2972804 |doi=10.2307/2972804 |язык=en |тип=journal |автор=Rees, E. L. |год=1922}}</ref>
-:* если <math>q \geqslant 0</math>, то все корни комплексные,
-:* если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то все корни комплексные,
-:* если <math>q < 0</math> и <math>s < \frac{q^2}{4}</math>, то все корни вещественные.
-* При <math>D = 0</math> многочлен имеет по меньшей мере один кратный корень (вещественный или комплексный). Во втором случае многочлен имеет два комплексно сопряженных кратных корня и, следовательно, распадается в произведение двух многочленов второй степени, неприводимых над полем вещественных чисел.
-: Точнее:<ref name=autogenerated1 />
-:* если <math>q < 0</math> и <math>s > \frac{q^2}{4}</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
-:* если <math>q < 0</math> и <math>-\frac{q^2}{12} < s < \frac{q^2}{4}</math>, то три различных вещественных корня, один из которых кратности 2,
-:* если <math>q < 0</math> и <math>s = \frac{q^2}{4}</math>, то два вещественных корня, каждый из которых кратности 2,
-:* если <math>q < 0</math> и <math>s = -\frac{q^2}{12}</math>, то два вещественных корня, один из которых кратности 3,
-:* если <math>q > 0</math>, <math>s > 0</math> и <math>r \neq 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
-:* если <math>q > 0</math>, <math>s = \frac{q^2}{4}</math> и <math>r = 0</math>, то одна пара комплексно сопряженных корней кратности 2,
-:* если <math>q > 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
-:* если <math>q = 0</math> и <math>s > 0</math>, то один вещественный корень кратности 2 и два комплексных корня,
-:* если <math>q = 0</math> и <math>s = 0</math>, то один вещественный корень кратности 4.
-== История ==
-Термин образован от {{lang-lat|discrimino}} — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусса]], [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]], [[Кронекер, Леопольд|Кронекера]], [[Вебер, Генрих Мартин|Вебера]] и др. Термин ввёл [[Сильвестр, Джеймс Джозеф|Сильвестр]]<ref>[http://www.numericana.com/answer/matrix.htm Matrices and Determinants — Numericana<!-- Заголовок добавлен ботом -->]</ref>.
-== См. также ==
-* [[Результант]]
-== Литература ==
-* {{книга|автор=Прасолов В. В.|заглавие=Многочлены|место=М.|издательство=[[МЦНМО]]|год=1999, 2001, 2003}}
-== Примечания ==
-{{Примечания}}
-{{внешние ссылки}}
 [[Категория:Многочлены]]

Дискриминант: различия между версиями

Версия от 13:47, 19 ноября 2019

Навигация

Поиск