Гипотеза Била

Гипотеза Била — гипотеза в теории чисел, обобщение великой теоремы Ферма. Предложена в 1993 году техасским миллиардером и математиком-любителем Эндрю Билом (англ. Andrew Beal), который учредил премию за её доказательство или опровержение в 100 тыс. долларов, а в 2013 году увеличил эту премию до 1 млн долларов.

Формулировка

Если $A^{x}+B^{y}=C^{z}$, где $A,B,C,x,y,z\in \mathbb {N}$ и $x,y,z>2$, то $A,B,C$ имеют общий простой делитель.

Связь с abc-гипотезой

Из abc-гипотезы (чей статус спорен) следует справедливость гипотезы Била для достаточно больших z, а из неё — доказательство Великой теоремы Ферма, поскольку гипотеза Била является обобщением великой теоремы Ферма, которая уже была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом, за что тот получил Абелевскую премию в 2016 году.

Связь с великой теоремой Ферма

При условии справедливости гипотезы теорему Ферма можно доказать от противного:

Пусть существуют натуральные числа $n>2$ и $A$, $B$, $C$ такие, что $A^{n}+B^{n}=C^{n}$. Тогда гипотеза Била для $x=y=z=n$ влечёт существование простого числа $p$, делящего каждое из чисел $A$, $B$ и $C$. Но тогда $(A/p)^{n}+(B/p)^{n}=(C/p)^{n}$, а следовательно, из любой тройки чисел, удовлетворяющей равенству $A^{n}+B^{n}=C^{n}$, можно получить другую тройку чисел, удовлетворяющую данному равенству, последнее число в которой будет меньше, чем в исходной тройке. Иными словами, в множестве натуральных чисел, чья $n$-я степень является суммой $n$-х степеней двух других натуральных чисел, нет наименьшего элемента, что невозможно. Полученное противоречие означает, что требуемых натуральных чисел $n$, $A$, $B$, $C$ не существует, то есть великая теорема Ферма доказана.

Проверка

По состоянию на 2013 год гипотеза проверена для случаев, когда значения всех шести чисел не превосходят 1000.

24 марта 2014 года запущен проект добровольных вычислений Beal@Home на платформе BOINC по поиску контрпримера путём полного перебора.

Ссылки

• The Beal Conjecture
• The Beal Conjecture and Prize
• R. Daniel Mauldin. A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS : journal. — 1997. — Vol. 44, no. 11. — P. 1436—1439.
• Beal's Conjecture (англ.) на сайте PlanetMath. (недоступная ссылка с 06-06-2013 [4217 дней])
• Beal@Home — сайт проекта добровольных вычислений по проверке гипотезы.