Теорема Мэйсона — Стотерса: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
BsivkoBot (обсуждение | вклад) |
→Доказательство: Исправлена форма местоимения. |
||
Строка 18: | Строка 18: | ||
Ясно также, что <math>W\neq 0</math>. От противного: если <math>W=0</math>, то <math>a'b=ab'</math>, значит <math>a</math> делит <math>a'</math>, поэтому <math>a'=0</math> (поскольку <math>\deg a > \deg a'</math> при любом неконстантном <math>a</math>). Аналогично получаем, что <math>b'=0,c'=0</math>, что противоречит условию. |
Ясно также, что <math>W\neq 0</math>. От противного: если <math>W=0</math>, то <math>a'b=ab'</math>, значит <math>a</math> делит <math>a'</math>, поэтому <math>a'=0</math> (поскольку <math>\deg a > \deg a'</math> при любом неконстантном <math>a</math>). Аналогично получаем, что <math>b'=0,c'=0</math>, что противоречит условию. |
||
Из |
Из обоих утверждений получаем, что |
||
:<math>\deg\text{НОД}(a,a')+\deg\text{НОД}(b,b')+\deg\text{НОД}(c,c')\leqslant \deg W</math> |
:<math>\deg\text{НОД}(a,a')+\deg\text{НОД}(b,b')+\deg\text{НОД}(c,c')\leqslant \deg W</math> |
Версия от 14:46, 9 января 2020
Теорема Мэйсона — Стотерса — аналог abc-гипотезы для многочленов. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981 году,[1] и Мейсона, который вновь открыл её после этого.[2]
Формулировка
Пусть — попарно взаимно простые многочлены над полем, такие что и хотя бы один из них имеет ненулевую производную. Тогда
Здесь — радикал многочлена, это произведение различных неприводимых множителей . Для алгебраически замкнутых полей радикал многочлена это многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у ; в этом случае это просто число различных корней .[3]
Примеры
- Над полями характеристики 0 условие, что хотя бы одна производная ненулевая равносильно тому, что хотя бы один многочлен — не константа. Над полями характеристики недостаточно требовать, чтобы все были неконстантными. Например, тождество даёт пример, где , а .
- Если взять , то мы получим пример, в котором в теореме Мейсона — Стотерса достигается равенство, что показывает, что оценка в теореме в некотором смысле неулучшаема.
- Простым следствием теоремы Мейсона — Стотерса является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если для попарно взаимно простых над полем характеристики, не делящей , и , то хотя бы один из нулевой или все константы.
Доказательство
Из условия следует, что и . Обозначим . Отсюда следует, что делит . Поскольку все НОДы попарно взаимно просты, то их произведение делит .
Ясно также, что . От противного: если , то , значит делит , поэтому (поскольку при любом неконстантном ). Аналогично получаем, что , что противоречит условию.
Из обоих утверждений получаем, что
По определению имеем , значит
Для любого многочлена верно, что . Подставляя сюда и подставляя в неравенство выше, получаем
мы получаем, что
что и требовалось.
Снайдер дал элементарное доказательство теоремы Мейсона-Стотерса.[4]
Обобщения
Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.
Пусть — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть — гладкая проективная кривая рода , и пусть — рациональные функции на , такие что , и пусть — множество точек в , содержащее все нули и полюсы . Тогда
Здесь степень функции в это степень отображения, индуцированного из в .
Это было доказано Мэйсоном, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано Сильверманом.[5]
Существует дальнейшее обобщение, данное Voloch[6] и независимо Brownawell и Массером,[7] которое даёт верхнюю оценку для уравнений , для которых верно, что нет подмножеств , которые являются -линейно независимыми. При этих предположениях они доказали, что
Ссылки
- ↑ Stothers, W. W. (1981), "Polynomial identities and hauptmoduln", Quarterly J. Math. Oxford, 2, 32: 349—370, doi:10.1093/qmath/32.3.349.
- ↑ Mason, R. C. (1984), Diophantine Equations over Function Fields, London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 96, Cambridge, England: Cambridge University Press.
- ↑ Lang, Serge[англ.]*. Algebra (неопр.). — New York, Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2002. — С. 194. — ISBN 0-387-95385-X.
- ↑ Snyder, Noah (2000), "An alternate proof of Mason's theorem" (PDF), Elemente der Mathematik, 55 (3): 93—94, doi:10.1007/s000170050074, MR 1781918.
- ↑ Silverman, J. H. (1984), "The S-unit equation over function fields", Proc. Camb. Philos. Soc., 95: 3—4.
- ↑ Voloch, J. F. (1985), "Diagonal equations over function fields", Bol. Soc. Brasil. Mat., 16: 29—39.
- ↑ Brownawell, W. D.; Masser, D. W. (1986), "Vanishing sums in function fields", Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 100: 427—434.
Внешние ссылки
- Weisstein, Eric W. Mason's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture