Закон Гука

Видеоурок: закон Гука

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому, деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержня

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

$F=k\Delta l.$

Здесь $F$ — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, $\Delta l$ — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а $k$ — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения $S$ и длины $L$) явно, записав коэффициент упругости как

$k={\frac {ES}{L}}.$

Величина $E$ называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

$\varepsilon ={\frac {\Delta l}{L}}$

и нормальное напряжение в поперечном сечении

$\sigma ={\frac {F}{S}},$

то закон Гука для относительных величин запишется как

$\sigma =E\varepsilon \ .$

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

$\Delta l={\frac {FL}{ES}}.$

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга $C_{ijkl}$ и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора $C_{ijkl}$, а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

$\sigma _{ij}=\sum _{kl}C_{ijkl}\cdot \varepsilon _{kl},$

где $\sigma _{ij}$ — тензор напряжений, $\varepsilon _{kl},$ — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор $C_{ijkl}$ содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

$\varepsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}$

$\varepsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{z}$

$\varepsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{x}-{\frac {\mu }{E}}\sigma _{y}$

$\gamma _{xy}={\frac {\tau _{xy}}{G}}$

$\gamma _{yz}={\frac {\tau _{yz}}{G}}$

$\gamma _{xz}={\frac {\tau _{xz}}{G}}$

где $E$ — модуль Юнга, $\mu$ — коэффициент Пуассона, $G={\frac {E}{2(1+\mu )}}$ — модуль сдвига.