Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара $(X,{\mathfrak {A}})$, где $X$ — множество, а ${\mathfrak {A}}$ — некоторая $\sigma$-алгебра его подмножеств.

Основные сведения

Основной источник:

Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство $(X,{\mathfrak {A}})$, в котором выбрана $\sigma$ - алгебра ${\mathfrak {A}}$, порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная $\sigma$ - алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской $\sigma$ - алгеброй пространства X; при этом множества $A\in {\mathfrak {A}}$ называются борелевскими.

Измеримое пространство $(X,{\mathfrak {A}})$ называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств ${\mathfrak {C}}$, отделяющая точки пространства $X$ и порождающая соответствующую $\sigma$ - алгебру ${\mathfrak {A}}$. Говорят, что система множеств ${\mathfrak {C}}$, отделяет точки пространства $X$, если для любых $x_{1},x_{2}\in X$ найдутся непересекающиеся множества $A_{1},A_{2}\in {\mathfrak {C}}$ такие, что $x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2}$.

Произведением измеримых пространств $(X_{1},{\mathfrak {A}}_{1})$ и $(X_{2},{\mathfrak {A}}_{2})$ называется измеримое пространство $(X,{\mathfrak {A}})$, $X=X_{1}\times X_{2}$, в котором $\sigma$ - алгебра ${\mathfrak {A}}$, порождена произведением $\sigma$ - алгебр ${\mathfrak {A}}_{1}$ и ${\mathfrak {A}}_{2}$, т.е. ${\mathfrak {A}}$ порождается полукольцом ${\mathfrak {A}}_{1}\times {\mathfrak {A}}_{2}$ всевозможных прямоугольных множеств вида $A_{1}\times A_{2}$, где $A_{1}\in {\mathfrak {A}}_{1}$, $A_{2}\in {\mathfrak {A}}_{2}$