Унитарное пространство

Унитарное пространство — векторное пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением, комплексный аналог евклидова пространства.

Определение

Эрмитовым скалярным произведением в векторном пространстве $\mathbb {L}$ над полем комплексных чисел называется полуторалинейная форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$ удовлетворяющая дополнительному условию:

• $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}\ \ \forall x,y\in \mathbb {L} .$

Другими словами, это означает, что функция $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$ удовлетворяющая следующим условиям:

• 1) (линейность скалярного произведения по первому аргументу)

$\forall ~x_{1},x_{2},y\in \mathbb {L}$ и $\forall ~\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ справедливы равенства:

$\langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle ,$

(иногда в определении вместо этого берут линейность по второму аргументу, что не принципиально)

• 2) (эрмитовость скалярного произведения)

$\forall ~x,~y\in \mathbb {L}$ справедливо равенство $\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$,

• 3) (положительная определенность и невырожденность скалярного произведения соотвественно)

$\forall ~x\in \mathbb {L}$ имеем $\langle x,x\rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }$ и $\langle x,x\rangle \geq 0,$ причем $\langle x,x\rangle =0$ только при $x=0$.

Свойства

• Над действительным пространством условие полуторалинейности эквивалентно билинейности, а эрмитовость — симметричности, и скалярное произведение становится положительно определенной билинейной симметричной функцией $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {R}$.
• Полуторалинейная форма $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ является эрмитовой тогда и только тогда, когда функция $f(x)=\langle x,x\rangle$ принимает только вещественные значения для всех векторов $x\in \mathbb {L} .$

Отличия от евклидова пространства

Унитарные пространства обладают всеми свойствами евклидовых пространств, за исключением четырёх отличий:

1. $(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}(x,y)$
2. Неравенство Коши-Буняковского: $\left|(x,y)\right|^{2}\leqslant {\overline {(}}x,x)(x,y)$
3. Понятие угла не имеет содержательного смысла.
4. Матрица Грама $\Gamma (f)=f^{T}f$ системы векторов $f$ является эрмитовой $\Gamma =\Gamma *$.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.