Теория категорий

Схематическое обозначение объектов категории X, Y, Z и морфизмов f, g, g ∘ f.

Тео́рия катего́рий — раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов.

Теория категорий занимает центральное место в современной математике, она также нашла применения в информатике, логике и в теоретической физике. Современное изложение алгебраической геометрии и гомологической алгебры существенно опирается на понятия теории категорий. Общекатегорийные понятия также активно используются в языке функционального программирования Haskell.

Определение

Категория ${\mathcal {C}}$ — это:

• класс объектов $Ob_{\mathcal {C}}$;
• для каждой пары объектов $A$, $B$ задано множество морфизмов (или стрелок) $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$, причём каждому морфизму соответствуют единственные $A$ и $B$;
• для пары морфизмов $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ и $g\in \mathrm {Hom} (B,C)$ определена композиция $g\circ f\in \mathrm {Hom} (A,C)$;
• для каждого объекта $A$ задан тождественный морфизм $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$;

причём выполняются две аксиомы:

• операция композиции ассоциативна: $h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ и
• тождественный морфизм действует тривиально: $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ для $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$

Малая категория

Основная статья: Категория малых категорий

Класс объектов не обязательно является множеством в смысле аксиоматической теории множеств. Категория ${\mathcal {C}}$, в которой $Ob_{\mathcal {C}}$ является множеством и $Hom({\mathcal {C}})$ (совокупность всех морфизмов категории) является множеством, называется малой. Кроме того, возможно (с небольшим исправлением определения) рассмотрение категорий, в которых морфизмы между любыми двумя объектами также образуют класс, или даже большую структуру. В этом варианте определения категория, в которой морфизмы между двумя зафиксированными объектами образуют множество, называется локально малой.

Примеры категорий

• Set — категория множеств. Объектами в этой категории являются множества, морфизмами — отображения множеств.
• Grp — категория групп. Объектами являются группы, морфизмами — отображения, сохраняющие групповую структуру (гомоморфизмы групп).
• Vect_K — категория векторных пространств над полем K. Морфизмы — линейные отображения.
• Категория модулей.

Аналогично определяются категории для других алгебраических систем.

• Top — категория топологических пространств. Морфизмы — непрерывные отображения.
• Для любого частично упорядоченного множества можно построить малую категорию, объектами которой являются элементы множества, причём между элементами x и y существует единственный морфизм тогда и только тогда, когда x≤y (разумеется, следует отличать эту категорию от категории частично упорядоченных множеств!).
• Met — категория, объектами которой являются метрические пространства, а морфизмами — короткие отображения.

Коммутативные диаграммы

Стандартным способом описания утверждений теории категорий являются коммутативные диаграммы. Коммутативная диаграмма — это ориентированный граф, в вершинах которого находятся объекты, а стрелками являются морфизмы, причём результат композиции стрелок не зависит от выбранного пути. Например, аксиомы теории категорий (ассоциативность композиции и свойство тождественного морфизма) можно записать с помощью диаграмм:

Диаграмма аксиом категорий

Двойственность

Для категории ${\mathcal {C}}$ можно определить двойственную категорию ${\mathcal {C}}^{op}$, в которой:

• объекты совпадают с объектами исходной категории;
• морфизмы получаются «обращением стрелок»: $\mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{op}}(B,A)\simeq \mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$

Принцип двойственности гласит, что для любого утверждения теории категорий можно сформулировать двойственное утверждение с помощью обращения стрелок, при этом истинность утверждения не изменится. Часто двойственное понятие обозначается тем же термином с приставкой ко- (см. примеры дальше).

Основные определения и свойства

Изоморфизм, эндоморфизм, автоморфизм

Морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ называется изоморфизмом, если существует такой морфизм $g\in \mathrm {Hom} (B,A)$, что $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ и $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$. Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными. В частности, тождественный морфизм является изоморфизмом, поэтому любой объект изоморфен сам себе.

Морфизмы, в которых начало и конец совпадают, называют эндоморфизмами. Множество эндоморфизмов $\mathrm {End} (A)=\mathrm {Hom} (A,A)$ является моноидом относительно операции композиции с единичным элементом $\mathrm {id} _{A}$.

Эндоморфизмы, которые одновременно являются изоморфизмами, называются автоморфизмами. Автоморфизмы любого объекта образуют группу автоморфизмов $\mathrm {Aut} (A)$ по композиции.

Мономорфизм, эпиморфизм, биморфизм

Мономорфизм — это морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$ такой, что для любых $g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (X,A)$ из $f\circ g_{1}=f\circ g_{2}$ следует, что $g_{1}=g_{2}$. Композиция мономорфизмов есть мономорфизм.

Эпиморфизм — это такой морфизм $f\in \mathrm {Hom} (A,B)$, что для любых $g_{1},g_{2}\in \mathrm {Hom} (B,X)$ из $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ следует $g_{1}=g_{2}$. Композиция эпиморфизмов есть эпиморфизм.

Биморфизм — это морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом. Любой изоморфизм есть биморфизм, но не любой биморфизм есть изоморфизм.

Мономорфизм, эпиморфизм и биморфизм являются обобщениями понятий инъективного, сюръективного и биективного отображения соответственно. Любой изоморфизм является мономорфизмом и эпиморфизмом, обратное, вообще говоря, верно не для всех категорий.

Инициальный и терминальный объекты

Инициальный (начальный, универсально отталкивающий) объект категории — это такой объект, из которого в любой объект категории существует единственный морфизм.

Если инициальные объекты в категории существуют, то все они изоморфны.

Двойственным образом определяется терминальный или универсально притягивающий объект — это такой объект, в который из любого объекта категории существует единственный морфизм.

Объект категории называется нулевым, если он одновременно инициальный и терминальный.

Пример: В категории Set инициальным объектом является пустое множество $\varnothing$, терминальным — любое множество из одного элемента $\{\cdot \}$.

Пример: В категории Grp существует нулевой объект — это группа из одного элемента.

Произведение и сумма объектов

Прямое произведение

Произведение (пары) объектов A и B — это объект $A\times B$ с морфизмами $p_{1}:A\times B\to A$ и $p_{2}:A\times B\to B$ такими, что для любого объекта $C$ с морфизмами $f_{1}:C\to A$ и $f_{2}:C\to B$ существует единственный морфизм $g:C\to A\times B$ такой, что диаграмма, изображённая справа, коммутативна. Морфизмы $p_{1}:A\times B\to A$ и $p_{2}:A\times B\to B$ называются проекциями.

Двойственно определяется сумма или копроизведение $A+B$ объектов $A$ и $B$. Соответствующие морфизмы $\imath _{A}:A\to A+B$ и $\imath _{B}:B\to A+B$ называются вложениями. Несмотря на своё название, в общем случае они могут и не быть мономорфизмами.

Если произведение и копроизведение существуют, то они определяются однозначно с точностью до изоморфизма.

Пример: В категории Set произведение A и B — это прямое произведение в смысле теории множеств $A\times B$, а сумма — дизъюнктное объединение $A\sqcup B$.

Пример: В категории Ring сумма — это тензорное произведение $A\otimes B$, а произведение — прямая сумма колец $A\oplus B$.

Пример: В категории Vect_K (конечные) произведение и сумма изоморфны — это прямая сумма векторных пространств $A\oplus B$.

Несложно определить аналогичным образом произведение любого семейства объектов $\prod _{i\in I}A_{i}$. Бесконечные произведения устроены в общем случае гораздо сложнее, чем конечные. Например, в то время как конечные произведения и копроизведения в Vect_K изоморфны прямым суммам, бесконечные произведения и копроизведения не являются изоморфными. Элементами бесконечного произведения $\prod _{i\in I}V_{i}$ являются произвольные бесконечные последовательности элементов $v_{i}\in V_{i}$, в то время как элементами бесконечного копроизведения $\coprod _{i\in I}V_{i}$ являются последовательности, в которых лишь конечное число членов — ненулевые.

Функторы

Основная статья: Функтор (математика)

Функторы — это отображения категорий, сохраняющие структуру. Точнее,

(Ковариантный) функтор ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ставит в соответствие каждому объекту категории ${\mathcal {C}}$ объект категории ${\mathcal {D}}$ и каждому морфизму $f:A\to B$ морфизм $F(f):F(A)\to F(B)$ так, что

• $F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)}$ и
• $F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$.

Контравариантный функтор, или кофунктор можно понимать как ковариантный функтор из ${\mathcal {C}}$ в ${\mathcal {D}}^{op}$ (или из ${\mathcal {C}}^{op}$ в ${\mathcal {D}}$), то есть «функтор, переворачивающий стрелки». А именно, каждому морфизму $f:A\to B$ он сопоставляет морфизм $F(f):F(B)\to F(A)$, соответственным образом обращается правило композиции: $F(g)\circ F(f)=F(f\circ g)$.

Естественные преобразования

Основная статья: Естественное преобразование

Понятие естественного преобразования выражает связь между двумя функторами. Функторы часто описывают «естественные конструкции», в этом смысле естественные преобразования описывают «естественные морфизмы» таких конструкций.

Если $F$ и $G$ — ковариантные функторы из категории $C$ в $D$, то естественное преобразование $\eta$ сопоставляет каждому объекту $X$ категории $C$ морфизм $\eta _{X}:F(X)\to G(X)$ таким образом, что для любого морфизма $f:X\to Y$ в категории $C$ следующая диаграмма коммутативна:

Commutative diagram defining natural transformations

Два функтора называются естественно изоморфными, если между ними существует естественное преобразование, такое что $\eta _{X}$ — изоморфизм для любого $X$.

Некоторые типы категорий

• Моноидальные категории
• Абелевы категории
• Топосы

См. также

• Категория Бэра
• Универсальное свойство
• Предел
• Сопряжённые функторы
• Монады
• Категория (философия)

Ссылки

• «Category Theory» in Stanford Encyclopedia of Philosophy

Литература

• С. Мак Лейн [Maclane S.] Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• С. Мак Лейн [Maclane S.] Гомология. — М.: Мир — том 114 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften, 1966 [1963].
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Категории. — том 06 серии — ВИНИТИ — Итоги науки и техники, Алгебра-Топология-Геометрия`, 1969.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Лекции по теории категорий. — М.: Наука, 1970.
• Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.
• Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. М.: Мир, 1972. 259 с.
• Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 1. — М.: Мир — том 190 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1973].
• Фейс [Faith C.] Алгебра — кольца, модули и категории, том 2. — М.: Мир — том 191 серии Springer-Verlag — Grundlehren der mathematischen wissenschaften — 1977 [1976].
• Габриель [Gabriel P.], Цисман [Zisman M.] Категории частных и теория гомотопий. — М.: Мир — том 35 серии Springer-Verlag — Ergebnisse der mathematik und ihrer grenzgebiete — 1971 [1967].
• Голдблатт [Goldblatt R.] Топосы — категорный анализ логики. — том 98 серии Studies in logic & foundation of mathematics — 1983 [1979].
• Фултон Е, Мак-Фёрсон Р. Категорный подход к изучению пространств с особенностями. — том 33 серии Новое в зарубежной науке, математика — ред. Бухштабер В. М. — 1983.
• Артамонов В. А., Салий В. Н., Скорняков Л. А., Шеврин Л. Н., Шульгейфер Е. Г. Общая алгебра. Том 2. — М., Наука, 1991. — 480 c. — ISBN 5-02-014427-4. — Тираж 25500 экз.