Коммутативность

Первое известное использование термина коммутативность: фрагмент французского журнала «Annales de Gergonne», выпускавшегося с 1810 по 1832 годы, выпуск 1814-15

Пример, показывающий коммутативность сложения (3 + 2 = 2 + 3)

Коммутативная операция — бинарная операция «$\circ$», обладающая свойством коммутативности (позднелат. commutativus — «меняющийся»), то есть свойством переместительности:

$x\circ y=y\circ x$ для любых элементов $x,\;y$.

В частности, если групповая операция является коммутативной, то группа называется абелевой. Если операция умножения в кольце является коммутативной, то кольцо называется коммутативным.

Термин «коммутативность» ввёл в 1814 году французский математик Франсуа Жозеф Сервуа.

Примеры:

• Сумма и произведение действительных чисел коммутативны:

  $a+b=b+a;\quad a\cdot b=b\cdot a;\quad a,\;b\in \mathbb {R} .$

• Конъюнкция и дизъюнкция коммутативны:

  $a\land b\equiv b\land a;\quad a\lor b\equiv b\lor a.$

• объединение, пересечение и симметрическая разность множеств коммутативны:

  $A\cup B=B\cup A;\quad A\cap B=B\cap A;\quad A\bigtriangleup B=B\bigtriangleup A.$

• Возведение в степень действительных чисел некоммутативно ($a^{b}\neq b^{a}$):

  $2^{4}=4^{2}=16$, но $2^{5}=32\neq 5^{2}=25$.

• Умножение матриц в общем случае некоммутативно:

  ${\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}{\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}={\tbinom {34\ 49}{16\ 72}}$, но ${\tbinom {2\ 9}{6\ 1}}{\tbinom {5\ 4}{8\ 0}}={\tbinom {82\ \,8\,}{38\ 24}}$.

См. также

• Аддитивность
• Антикоммутативность
• Ассоциативная операция
• Дистрибутивность
• Идемпотентность

Ссылки

• Коммутативность // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• Коммутативность — статья из Математической энциклопедии. Д. М. Смирнов