Лемма Гаусса о приводимости многочленов

Лемма Гаусса — утверждение про свойства многочленов над факториальными кольцами, которое впервые было доказано для многочленов над кольцом целых чисел. Широко применяется в теории колец и полей, в частности, при доказательстве факториальности кольца многочленов над факториальным кольцом и теоремы Люрота.

Формулировка

Пусть $R$ — факториальное кольцо (например, кольцо целых чисел). Тогда справедливы следующие два утверждения:

• Пусть $a\in R,\;\;\;f,g\in R[x],$ $a$ неприводимо (а значит и просто) в $R$ и делит все коэффициенты произведения $f(x)g(x).$ Тогда $a$ также делит все коэффициенты или многочлена $f(x),$ или многочлена $g(x).$ В частности, если $f(x),g(x)$ — примитивные многочлены (многочлен называется примитивным, если наибольший общий делитель его коэффициентов обратим, т.е. ассоциирован с единицей), то и многочлен $f(x)g(x)$ примитивен;
• Если $Q$ — поле частных кольца $R,$ и если многочлен неприводим в кольце $R[x],$ то он неприводим и в кольце $Q[x].$Более того, если многочлен примитивен в $R[x],$ то верно и обратное.

Оба этих утверждения остаются верными, если вместо факториальных колец рассматривать области целостности, в которых любые два элемента имеют наибольший общий делитель.

Доказательство (для факториальных колец)

Докажем, что если простой элемент $p$ кольца $R$ является общим делителем коэффициентов $f(x)g(x)$, то он делит либо все коэффициенты $f(x),$ либо все коэффициенты $g(x)$.

Пусть $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$, $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}$, $n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g$ — степени этих многочленов.

Допустим, что $p$ не делит в совокупности ни коэффициенты $f(x),$ ни $g(x).$ Тогда существуют наименьшие $i,j$ для которых $p\nmid a_{i}$ и $p\nmid b_{j}.$

Коэффициент при элементе степени $i+j$ многочлена $f(x)g(x)$ имеет вид:

$\sum _{k<i}a_{k}b_{i+j-k}+a_{i}b_{j}+\sum _{l<j}a_{i+j-l}b_{l}.$

В соответствии с выбором $i,j$ элемент $p$ делит все слагаемые в этой сумме, за исключением $a_{i}b_{j},$ который он не делит в силу своей простоты и факториальности $R.$ Стало быть, он не делит и всю сумму, которая является одним из коэффициентов многочлена, и мы приходим к противоречию. Непосредственным следствием этого пункта является то, что если $f(x),g(x)$ примитивны, то их произведение $f(x)g(x)$ — тоже примитивный многочлен.

Пусть теперь $f(x)=f_{1}(x)f_{2}(x)$ — факторизация в кольце $Q[x].$ Домножив каждый из $f_{1}(x),f_{2}(x)$ на общее кратное знаменателей их коэффициентов, получим, что $af_{1}(x)=h_{1}(x)\in R[x]$ и $bf_{2}(x)=h_{2}(x)\in R[x]$ и $abf(x)=g_{1}(x)g_{2}(x).$

Каждый из простых делителей $ab$ делит все коэффициенты $g_{1}(x)g_{2}(x),$ а значит и все коэффициенты одного из многочленов-сомножителей. Разделив на этот делитель и повторив процесс конечное число раз, получим факторизацию в кольце $R[x].$

См. также

• Теорема Люрота

Литература

• Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3