Теорема Вигнера

Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математической формулировке квантовой механики. Она определяет, как физические симметрии (вращение, перемещение в пространстве, CPT-преобразование) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний. Была доказана Юджином Вигнером в 1931 г.

Формулировка

Пусть H и K - гильбертовы пространства, T - отображение нормированных лучей $\Psi$ и $\Phi$ пространства H на множество нормированных лучей пространства K так, что при этом выполняется условие:

$\mid (T\Psi ,T\Phi )\mid =\mid (\Psi ,\Phi )\mid$

Тогда существует оператор O из пространства H в пространство K, определённый с точностью до постоянного множителя, который порождает T и который аддитивен, т. е. обладает свойством:

$O(\Psi _{1}+\Psi _{2})=O\Psi _{1}+O\Psi _{2}$

и который является либо унитарным, т. е. обладает свойством:

$(O\Psi ,O\Phi )=(\Psi ,\Phi )$

либо антиунитарным, т. е. обладает свойством:

$(O\Psi ,O\Phi )={\overline {(\Psi ,\Phi )}}=(\Phi ,\Psi )$

Доказательство см.

Пояснения

Нормированным (или единичным) лучом называется совокупность всех единичных векторов в гильбертовом пространстве, коллинеарных с заданным вектором. Знак $(...)$ означает скалярное произведение в гильбертовом пространстве. Знак $\mid ...\mid$ означает операцию взятия модуля. Знак ${\overline {(...)}}$ означает операцию комплексного сопряжения.

Литература

• Вигнер Е. Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров. — М.: ИЛ, 1961. — 443 с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров, И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.