Интегральная показательная функция

График функции $\operatorname {Ei} (x)$

Интегральная показательная функция — специальная функция, обозначаемая символом $\operatorname {Ei}$.

Определение на множестве вещественных чисел

Наиболее распространено следующее определение $\operatorname {Ei}$ (см. график):

$\operatorname {Ei} (x)=\mathrm {v.p.} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\in \mathbb {R} ,\;(1)$

где $\gamma$ есть постоянная Эйлера. Интеграл в смысле главного значения в (1) имеет различные разложения в ряд при положительных и отрицательных x, что затрудняет его аналитическое продолжение на комплексную плоскость [то есть обобщение (1) на случай комплексных значений x]. По этой причине определение (1) представляется ущербным; вместо него более уместно использовать [несовместимое с (1)]

Основное определение

Интегральная показательная функция — специальная функция, определяемая интегралом

$\operatorname {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\gamma +\operatorname {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z)|<\pi ,\;(2)$

Подобно ряду для экспоненциальной функции, бесконечная сумма в (2) сходится в любой точке комплексной плоскости. Результат интегрирования в (2) зависит не только от $z$, но и от пути интегрирования, а именно, определяется тем, сколько раз путь интегрирования огибает точку $t=0$, в окрестности которой подынтегральное выражение в (2) приближённо равно $1/t$. Таким образом, функция $\operatorname {Ei} (z)$ является многозначной, а особая точка $z=0$ является логарифмической точкой ветвления. Как и в случае с логарифмической функцией $\operatorname {ln} z$, различие в значениях различных ветвей функции (при фиксированном $z$) кратно $2\pi i$.

Ниже будем рассматривать только главную ветвь (значение) $\operatorname {Ei}$, соответствующую главной ветви $\operatorname {ln}$ в (2). Общепринятый разрез комплексной плоскости для $\operatorname {ln} z$ (вдоль отрицательной вещественной оси) соответствует разрезу вдоль положительной вещественной оси для функции $\operatorname {Ei} (z)$. Фиксируем также и главную ветвь аргумента: $-\pi <\operatorname {arg} z\leq \pi$ и далее будем считать, что $\operatorname {Ei}$ — однозначная аналитическая функция, определённая на всей комплексной плоскости за исключением разреза вдоль положительной вещественной оси.

Возникновение $\operatorname {Ei}$ при вычислении интегралов

Интеграл от произвольной рациональной функции, помноженной на экспоненту, выражается в конечном виде через функцию $\operatorname {Ei}$ и элементарные функции.

В качестве простого примера интеграла, сводящегося к интегральной показательной функции рассмотрим (предполагая, что $b>0$)

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz}}={\begin{cases}-e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz),&\operatorname {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\operatorname {Ei} (-bz)-2\pi i\right],&\operatorname {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)$

Из (2) следует, что при вещественных значениях $y$ и $b$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\operatorname {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\operatorname {Ei} _{1}(|by|)\right],\;(3)$

где $\operatorname {Ei} _{1}$ есть т. н. модифицированная интегральная показательная функция:

$\operatorname {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Ei} (y+i0)+\operatorname {Ei} (y-i0)\right]=\gamma +\operatorname {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\;\operatorname {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$

Фактически (4) совпадает с функцией, определённой в (1), и нередко функцию $\operatorname {Ei} _{1}$ обозначают символом $\operatorname {Ei}$, что может приводить к ошибкам.

При получении результата (3) было использовано значение интеграла

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}={\frac {\pi }{2}}\operatorname {exp} [-bz\operatorname {sign} \Im z],\;b>0.$

Интеграл (3) можно рассматривать как вещественную функцию вещественных аргументов $b$ и $y$. Логично потребовать, чтобы такая функция выражалась только через вещественные величины. Это требование оправдывает введение дополнительного [вдобавок к уже определённому в (2) $\operatorname {Ei}$] символа $\operatorname {Ei} _{1}$.

Результат (3) несложно обобщить на произвольные (за исключением чисто мнимых) комплексные значения параметра $z$:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\operatorname {Ei} (-bz)+e^{-bz}\left[\operatorname {Ei} (bz)+\pi i\operatorname {sign} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$

Формулу (3) для $b>0$ и $y>0$ можно получить, положив $z=y\pm i0$ в (5).

Интеграл (5) можно найти на стр. 320 справочника Прудникова, однако же приведённое там выражение верно только для действительных значений $z$ и при условии, что для функции $\operatorname {Ei}$ используется определение (1).

Следует заметить, что вычисление подобных интегралов (в особенности при комплексных значениях параметров) опасно доверять коммерческим системам компьютерной алгебры. Из-за неразберихи с обозначениями (использования символа $\operatorname {Ei}$ вместо $\operatorname {Ei} _{1}$) нельзя полностью доверять также и справочникам.^{[источник?]}

См. также

• Интегральный логарифм
• Интегральный синус
• Интегральный косинус