Кватернионы Гурвица: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Версия от 15:06, 25 сентября 2021

В математике кватернионом Гурвица (или целым числом Гурвица) называется кватернион, компоненты которого либо все целые, либо все полуцелые (половины нечётных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица

H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ или }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.

Можно показать, что H замкнуто относительно умножения и сложения, что делает его подкольцом кольца всех кватернионов.

Кватернион Липшица (или Целое Липшица) - это кватернион, все компоненты которого целые числа. Множество всех кватернионов Липшица

L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}

формирует подкольцо в кольце кватернионов Гурвица H.

Как группа, H является свободной абелевой группой с образующими {½(1+i+j+k), i, j, k}. Она, таким образом, образует решетку в R⁴. Эта решетка известна как решётка F₄, поскольку она является корневой решёткой полупростой алгебры Ли F₄. Кватернион Липшица L образует подрешётку в H.

Группа единиц в L образует кватернионную группу Q = {±1, ±i, ±j, ±k}. Группа единиц в H не является абелевой и образует группу 24-го порядка, известную как бинарная группа тетраэдра. Эта группа включает в себя 8 элементов Q и 16 кватернионов {½(±1±i±j±k)}, где знаки берутся в любой комбинации. Кватернионная группа является нормальной подгруппой бинарной группы тетраэдра U(H). Элементы U(H), имея норму 1, образуют вершины 24-гранника, вписанного в 3-сферу.

Норма кватерниона Гурвица, заданного формулой $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$ , всегда представляет собой целое число. По теореме Лагранжа любое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырёх (или менее) квадратов. Таким образом, любое неотрицательное целое число является нормой некоего кватерниона Липшица (или Гурвица). Целое число Гурвица является простым элементом в том и только в том случае, когда его норма - простое число.

См. также

Ссылки

Конвей Д. Х., Смит Д. А. Гурвицевы целые кватернионы // О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях / пер. С. М. Львовский — М.: МЦНМО, 2009. — С. 71—80. — 184 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-517-7

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 {{другие значения термина|Гурвиц|Гурвиц}}
-В [[Математика|математике]] '''кватернионом Гурвица''' (или '''целым числом Гурвица''') называется [[кватернион]], компоненты которого ''либо'' все [[Целое число|целые]], ''либо'' все [[Полуцелое число|полуцелые]] (половины нечетных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица
+В [[Математика|математике]] '''кватернионом Гурвица''' (или '''целым числом Гурвица''') называется [[кватернион]], компоненты которого ''либо'' все [[Целое число|целые]], ''либо'' все [[Полуцелое число|полуцелые]] (половины нечётных чисел; смесь целых и полуцелых недопустима). Множество всех кватернионов Гурвица
-:<math>H = \left\{a+bi+cj+dk \in \mathbb{H} \mid a,b,c,d \in \mathbb{Z} \;\mbox{ or }\, a,b,c,d \in \mathbb{Z} + \tfrac{1}{2}\right\}.</math>
+:<math>H = \left\{a+bi+cj+dk \in \mathbb{H} \mid a,b,c,d \in \mathbb{Z} \;\mbox{ или }\, a,b,c,d \in \mathbb{Z} + \tfrac{1}{2}\right\}.</math>
 Можно показать, что ''H'' замкнуто относительно умножения и сложения, что делает его [[подкольцо]]м  [[Кольцо (математика)|кольца]] всех кватернионов.
@@ Строка 12: / Строка 12: @@
 формирует подкольцо  в кольце кватернионов Гурвица ''H''.
-Как [[Группа (математика)|группа]], ''H'' является [[Свободная абелева группа|свободной абелевой группой]] с образующими {½(1+''i''+''j''+''k''), ''i'', ''j'', ''k''}. Она, таким образом, образует [[Решётка (теория групп)|решетку]] в '''R'''<sup>4</sup>. Эта решетка известна как [[F4 (математика)|Решетка ''F''<sub>4</sub>]], поскольку она является [[Корневая решетка|корневой решеткой]] [[Полупростая алгебра Ли|полупростой алгебры Ли]] ''F''<sub>4</sub>. Кватернион Липшица ''L'' образует подрешетку в ''H''.
+Как [[Группа (математика)|группа]], ''H'' является [[Свободная абелева группа|свободной абелевой группой]] с образующими {½(1+''i''+''j''+''k''), ''i'', ''j'', ''k''}. Она, таким образом, образует [[Решётка (теория групп)|решетку]] в '''R'''<sup>4</sup>. Эта решетка известна как [[F4 (математика)|решётка ''F''<sub>4</sub>]], поскольку она является [[Корневая решётка|корневой решёткой]] [[Полупростая алгебра Ли|полупростой алгебры Ли]] ''F''<sub>4</sub>. Кватернион Липшица ''L'' образует подрешётку в ''H''.
 [[Обратимый элемент|Группа единиц]] в ''L'' образует [[Кватернионная группа|кватернионную группу]] ''Q'' = {±1, ±''i'', ±''j'', ±''k''}. [[Обратимый элемент|Группа единиц]] в ''H'' не является абелевой и образует группу 24-го порядка, известную как [[бинарная группа тетраэдра]]. Эта группа включает в себя 8 элементов ''Q'' и 16 кватернионов {½(±1±''i''±''j''±''k'')}, где знаки берутся в любой комбинации. Кватернионная группа является [[Нормальная подгруппа|нормальной подгруппой]] бинарной группы тетраэдра ''U''(''H''). Элементы ''U''(''H''), имея норму 1, образуют вершины [[24-гранник]]а, вписанного в [[3-сфера|3-сферу]].
-[[Норма (математика)|Норма]] кватерниона Гурвица, заданного формулой <math>a^2+b^2+c^2+d^2</math>, всегда представляет собой целое число. По [[Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов|теореме Лагранжа]] любое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырех (или менее) [[Квадрат (алгебра)|квадратов]]. Таким образом, любое неотрицательное целое число является нормой некоего кватерниона Липшица(или Гурвица). Целое число Гурвица является [[Простой элемент|простым элементом]] в том и только в том случае, когда его норма -  [[простое число]].
+[[Норма (математика)|Норма]] кватерниона Гурвица, заданного формулой <math>a^2+b^2+c^2+d^2</math>, всегда представляет собой целое число. По [[Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов|теореме Лагранжа]] любое неотрицательное целое число можно представить в виде суммы четырёх (или менее) [[Квадрат (алгебра)|квадратов]]. Таким образом, любое неотрицательное целое число является нормой некоего кватерниона Липшица (или Гурвица). Целое число Гурвица является [[Простой элемент|простым элементом]] в том и только в том случае, когда его норма -  [[простое число]].
 == См. также ==

Кватернионы Гурвица: различия между версиями

Версия от 15:06, 25 сентября 2021

См. также

Ссылки

Навигация

Поиск