Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается $D[X]$ в русской литературе и $\operatorname {Var} (X)$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение $\sigma _{X}^{2}$ или $\displaystyle \sigma ^{2}$.

Квадратный корень из дисперсии, равный $\displaystyle \sigma$, называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на $k$ стандартных отклонений, составляет менее $1/k^{2}$. В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть $X$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

$D[X]=\mathbb {E} \left[{\big (}X-\mathbb {E} [X]{\big )}^{2}\right],$

где символ $\mathbb {E}$ обозначает математическое ожидание.

Замечания

• Если случайная величина $X$ дискретная, то

  $D[X]=\sum _{i=1}^{n}{p_{i}(x_{i}-\mathbb {E} [X])^{2}},$

  $D[X]={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}{p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}},$

где $x_{i}$ — $i$-ое значение случайной величины, $p_{i}=P(X=x_{i})$ — вероятность того, что случайная величина принимает значение $x_{i}$, $n$ — количество значений, которые принимает случайная величина.

Доказательство 2-й формулы

Пусть $Y$ - случайная величина, независимая от $X$, но с тем же самым распределением. Тогда $P(Y=x_{i})=p_{i}$, $\mathbb {E} [Y]=\mathbb {E} [X]$, $D[Y]=D[X]$ и

$D[X-Y]=D[X]+D[Y]=2D[X]$

$D[X-Y]=\mathbb {E} [(X-Y)^{2}]-\mathbb {E} [X-Y]^{2}=\mathbb {E} [(X-Y)^{2}]=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i}p_{j}(x_{i}-x_{j})^{2}$

Сопоставляя две эти формулы, получаем нужное равенство.

• Если случайная величина $X$ непрерывна, то:

  $D[X]=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{(x-\mathbb {E} [X])^{2}f(x)dx}$

  $D[X]={\frac {1}{2}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\int \limits _{-\infty }^{+\infty }(x_{2}-x_{1})^{2}{f(x_{1})f(x_{2})dx_{1}dx_{2}}$,

где $f(x)$ — плотность вероятности случайной величины.

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  $D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}$

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины.
• Дисперсия может быть бесконечной.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов $U(t)$:

  $D[X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\left(\mathbb {E} [X]\right)^{2}=U''(0)-\left(U'(0)\right)^{2}.$

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
• Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины $X$ по последовательности реализаций этой случайной величины: $X_{1}...X_{n}$ имеет вид:

  ${\overline {S}}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}$, где ${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ — выборочное среднее (несмещённая оценка $\mathbb {E} [X]$).

Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение ${\overline {S}}^{2}$ необходимо умножить на ${\frac {n}{n-1}}$. Несмещённая оценка имеет вид:

${\widetilde {S}}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}$

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $D[X]\geqslant 0;$
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: $D[a]=0.$ Верно и обратное: если $D[X]=0,$ то $X=\mathbb {E} [X]$ почти всюду.
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  $D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)$, где ${\text{cov}}(X,Y)$ — их ковариация.

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  $D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})$, где $c_{i}\in \mathbb {R}$.

• В частности, $D[X_{1}+\ldots +X_{n}]=D[X_{1}]+\ldots +D[X_{n}]$ для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю.
• $D\left[aX\right]=a^{2}D[X]$
• $D\left[-X\right]=D[X]$
• $D\left[X+b\right]=D[X]$
• Если $X=X(\omega ,\tau )$ — случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то

  $D_{(\omega ,\tau )}[X]=\mathbb {E} _{\omega }[D_{\tau }[X]]+D_{\omega }[\mathbb {E} _{\tau }[X]]$

Условная дисперсия

Наряду с условным математическим ожиданием $\mathbb {E} [X|Y]$ в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин $D[X|Y]$.

Условной дисперсией случайной величины $X$ относительно случайной величины $Y$ называется случайная величина

$D[X|Y]=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X|Y])^{2}|Y]=\mathbb {E} [X^{2}|Y]-\mathbb {E} [X|Y]^{2}$

Её свойства:

• Условная дисперсия относительно случайной величины $Y$ является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной $Y$);
• Условная дисперсия неотрицательна: $D[X|Y]\geqslant 0$;
• Условная дисперсия $D[X|Y]$ равна нулю тогда и только тогда, когда $X=\mathbb {E} [X|Y]$ почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда $X$ совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с $\mathbb {E} [X|Y]$);
• Обычная дисперсия также может быть представлена как условная: $D[X]=D[X|1]$;
• Если величины $X$ и $Y$ независимы, случайная величина $D[X|Y]$ является константой, равной $D[X]$.
• Если $X,Y$ — две числовые случайные величины, то

  $D[X]=\mathbb {E} [D[X|Y]]+D[\mathbb {E} [X|Y]],$

откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания $\mathbb {E} [X|Y]$ всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины $X$.

Пример

Пусть случайная величина $\displaystyle X$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $\displaystyle [0,1]$, то есть её плотность вероятности задана равенством

$f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.$

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно

$\mathbb {E} \left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}}$,

и математическое ожидание случайной величины равно

$\mathbb {E} \left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}$

Дисперсия случайной величины равна

$D[X]=\mathbb {E} \left[X^{2}\right]-(\mathbb {E} [X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}$

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность
• Абсолютное отклонение

Литература

• Гурский Д., Турбина Е. Mathcad для студентов и школьников. Популярный самоучитель. — СПб.: Питер, 2005. — С. 340. — ISBN 5469005259.
• Орлов А. И. Дисперсия случайной величины // Математика случая: Вероятность и статистика — основные факты. — М.: МЗ-Пресс, 2004.