Нелинейное уравнение Шрёдингера

Не следует путать с Уравнение Гросса — Питаевского.

Нелине́йное, или куби́ческое, уравне́ние Шрёдингера (НУШ) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы.

Уравнение имеет вид:

$i{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+\nu |u|^{2}u=0$

где $u(x,t)$ — комплекснозначная функция.

Значение в физике

Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает огибающую волнового пакета в среде с дисперсией и кубической нелинейностью. Подобная ситуация встречается, например, при распространении электромагнитных волн в плазме: с одной стороны, плазма является диспергирующей средой; с другой стороны, при достаточно высоких амплитудах волны проявляется пондеромоторная нелинейность, которая в некоторых случаях может быть аппроксимирована кубическим членом. Другим примером является распространение света в нелинейных кристаллах с дисперсией: во многих случаях квадратичная нелинейность мала или тождественно равна нулю в силу центральной симметрии кристаллической решётки, поэтому учитывается только кубический член.

Решения

Для нелинейного уравнения Шрёдингера найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В частности, решениями являются функции вида

$u(x,t)=\exp \left\{irx-ist\right\}v(x-Ut)$

где r, s, U — постоянные, связанные соотношениями:

$r={\frac {U}{2}}\qquad s={\frac {U^{2}}{4}}-\alpha$

а функция $v(q)$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида

${\frac {d^{2}v}{dq^{2}}}-\alpha v+\nu v^{3}=0$,

где $\alpha =r^{2}-s$. Периодические решения этого уравнения имеют форму кноидальных волн. Кроме того, имеется локализованное решение солитонного типа:

$v={\frac {\sqrt {2\alpha /\nu }}{\cosh \left[{\sqrt {\alpha }}\left(x-Ut\right)\right]}}$

Таким образом, параметр $\alpha$ определяет амплитуду волн, а параметр U — их скорость. Интересно, что солитонные решения для нелинейного уравнения качественно совпадает с солитонными решениями для другого важного нелинейного уравнения — уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), однако отличается, во-первых, тем, что амплитуда и скорость солитонов в НУШ независимы, а в КдФ связаны между собой, а во-вторых, тем, что в НУШ локализованные решения — это солитоны огибающих, а в КдФ — истинные солитоны.

Солитонные решения обладают особым значением, поскольку при $\nu >0$ стационарные решения нелинейного уравнения Шрёдингера неустойчивы и распадаются на множество солитонов. При заданном произвольном начальном распределении функции $u(x,t)$ решение может быть найдено методом обратной задачи рассеяния.

Интегралы

Нелинейное уравнение Шрёдингера вполне интегрируемо и обладает неограниченным набором интегралов движения. Примерами могут служить следующие интегралы:

$I_{1}=\int |u|^{2}dx$

$I_{2}=\int {\frac {i}{2}}\left({\overline {u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}-u{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial x}}\right)dx$

$I_{3}=\int \left(\left|{\frac {\partial u}{\partial x}}\right|^{2}+\kappa |u|^{4}\right)dx$

где верхняя черта означает взятие комплексного сопряжения.

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Шрёдингера уравнение нелинейное — статья из Физической энциклопедии