Инъективное метрическое пространство

Инъективное метрическое пространство — метрическое пространство, обладающее определёнными свойствами; такими пространствами являются вещественная прямая, все метрические деревья, $L^{\infty }$ и другие.

Определение

Полное геодезическое метрическое пространство $X$ называется инъективным, если произвольное семейство шаров в $X$ имеет общую точку, если любые два шара в этом семействе пересекаются.

Примеры

• Вещественная прямая, а также любой замкнутый интервал.
• Пространство функций на любом пространстве с sup-нормой.
• Любое метрическое дерево.

Свойства

• В инъективном пространстве радиус любого множества равен половине его диаметра.
  • Таким образом, инъективные пространства удовлетворяют самой сильной форме теоремы Юнга.
• Инъективное пространство является полным.
• Любое короткое отображение инъективного пространства конечного диаметра в себя фиксирует точку.
• Метрическое пространство является инъективным тогда и только тогда, когда оно является инъективным объектом в категории метрических пространств и коротких отображений по отношению к экстремальным мономорфизмам.
  • Иначе говоря, пространство $X$ является инъективным, если для любого короткого отображения $f\colon A\to X$ и изометрического вложения $\phi \colon A\to B$ существует короткое отображение $g\colon B\to X$ такое, что $f=g\circ \phi$.
• Любое метрическое пространство вкладывается в так называемую инъективную оболочку — минимальное инъективное пространство, содержащее исходное. (Инъективная оболочка аналогична выпуклой оболочке.)
  • Инъективная оболочка данного метрического пространства определяется однозначно с точностью до изометрии, коммутирующей с вложением.

См. также

• Категория метрических пространств

Ссылки

• Isbell, J. R. Six theorems about injective metric spaces (англ.) // Commentarii Mathematici Helvetici : journal. — 1964. — Vol. 39. — P. 65—76. — doi:10.1007/BF02566944.