Формула Остроградского — Гаусса

Фо́рмула Гаусса —Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка

Пусть тело $V$ ограничено замкнутой поверхностью $S$. Тогда для любого векторного поля $\mathbf {F}$ выполняется равенство

$\iiint \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {F} \,dV=\iint \limits _{S}\langle \mathbf {F} ,\mathbf {n} \rangle \,dS,$

то есть интеграл от дивергенции векторного поля $\mathbf {F}$, распространённый по объёму $V$, равен потоку вектора через поверхность $S$.

Замечания

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

$\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,ds,$

где $d\omega$ и $ds$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. $P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью.

Современная запись формулы:

$\int \left({\frac {dP}{dx}}+{\frac {dQ}{dy}}+{\frac {dR}{dz}}\right)d\Omega =\int (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS,$

где $\cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}$, $\cos \beta \,{dS}={dz}{dx}$ и $\cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}$. В современной записи $\omega =d\Omega$ — элемент объёма, $s=dS$ — элемент поверхности.

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762.

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики.

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от $n$-кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации $n$-кратного интеграла.

За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

См. также

• Теорема Стокса
• Теорема Грина

Литература

• Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
• Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).