Кубический сплайн

Пусть некоторая функция f(x) задана на отрезке $[a,b]$, разбитом на части $[x_{i-1},x_{i}]$, $a=x_{0}<x_{1}<...<x_{N}=b$. Кубическим сплайном называется функция S(x), которая:

• на каждом отрезке $[x_{i-1},x_{i}]$ является полиномом третьей степени;
• имеет непрерывную вторую производную на всём отрезке $[a,b]$;
• в точках $x_{i}$ выполняется равенство $S(x_{i})=f(x_{i})$;
• $S''(a)=S''(b)=0$.

По построению сплайн S(x) интерполирует функцию f в точках $x_{i}$.

Теорема: Существует ровно одна функция S(x), удовлетворяющая этим условиям.

Построение

Обозначим: $h_{i}=x_{i}-x_{i-1}$

На каждом отрезке $[x_{i},x_{i+1}]$ функция $S(x)$ есть полином третьей степени $S_{i}(x)$, коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства $S_{i}(x)$ в виде:

$S_{i}(x)=a_{i}+b_{i}(x-x_{i})+{c_{i} \over 2}(x-x_{i})^{2}+{d_{i} \over 6}(x-x_{i})^{3}$

тогда

$S_{i}\left(x_{i}\right)=a_{i},\quad S'_{i}(x_{i})=b_{i},\quad S''_{i}(x_{i})=c_{i}$

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде $S_{i}\left(x_{i-1}\right)=S_{i-1}(x_{i-1})$ $S'_{i}\left(x_{i-1}\right)=S'_{i-1}(x_{i-1})$ $S''_{i}\left(x_{i-1}\right)=S''_{i-1}(x_{i-1})$

а условия инетрполяции в виде 

$S_{i}\left(x_{i-1}\right)=f(x_{i-1})$

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

$a_{i}=f\left(x_{i}\right)$

$h_{i}c_{i-1}+2(h_{i}+h_{i+1})c_{i}+h_{i+1}c_{i+1}=6\left({{f_{i+1}-f_{i}} \over {h_{i+1}}}-{{f_{i}-f_{i-1}} \over {h_{i}}}\right)$

$d_{i}={{c_{i}-c_{i-1}} \over {h_{i}}}$

$b_{i}=-{1 \over 2}h_{i}c_{i}-{1 \over 6}h_{i}^{2}d_{i}+{{f_{i}-f_{i-1}} \over {h_{i}}}$

Если учесть, что $c_{0}=c_{n}=0$, то вычисление с можно провести с помощью метода прогонки для трехдиагональной матрицы.

Литература

• Роджерс Д.,Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001. — ISBN 5-03-002143-4.
• Костомаров Д.П., Фаворский А.П. Вводные лекции по численным методам.