Теорема Леви о непрерывности: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[непроверенная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
мНет описания правки
Строка 1: Строка 1:
'''Теоре́ма Леви́''' в [[теория вероятностей|теории вероятностей]] - результат, увязывающий [[Поточечная сходимость|поточечную сходимость]] [[Характеристическая функция случайной величины|характеристических функций]] [[Случайная величина|случайных величин]] со сходимостью этих случайных величин [[Сходимость по распределению|по распределению]].
'''Теоре́ма Леви́''' в [[теория вероятностей|теории вероятностей]] результат, увязывающий [[Поточечная сходимость|поточечную сходимость]] [[Характеристическая функция случайной величины|характеристических функций]] [[Случайная величина|случайных величин]] со сходимостью этих случайных величин [[Сходимость по распределению|по распределению]].


== Формулировка ==
== Формулировка ==


Пусть <math>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</math> последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном [[Вероятностное пространство|вероятностном пространстве]]. Обозначим характеристическую функцию случайной величины <math>X_n</math>, где <math>n \in \mathbb{N}</math>, символом <math>\phi_n(t)</math>. Тогда если <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>, и <math>\phi(t)</math> - характеристическая функция <math>X</math>, то
Пусть <math>\{X_n\}_{n=1}^{\infty}</math> последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном [[Вероятностное пространство|вероятностном пространстве]]. Обозначим характеристическую функцию случайной величины <math>X_n</math>, где <math>n \in \mathbb{N}</math>, символом <math>\phi_n(t)</math>. Тогда если <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>, и <math>\phi(t)</math> характеристическая функция <math>X</math>, то
:<math>\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>.
: <math>\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>.


Обратно, если <math>\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\phi \in C(0)</math> - функция действительного аргумента [[Непрерывная функция|непрерывная]] в нуле, то <math>\phi(t)</math> является характеристической функцией некоторой случайной величины <math>X</math>, и
Обратно, если <math>\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\phi \in C(0)</math> функция действительного аргумента [[Непрерывная функция|непрерывная]] в нуле, то <math>\phi(t)</math> является характеристической функцией некоторой случайной величины <math>X</math>, и
:<math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.
: <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>.


==Замечание==
== Замечание ==


Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если <math>\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\phi_n(t)</math> - характеристическая функция <math>X_n</math>, и <math>\phi(t)</math> - характеристическая функция <math>X</math>, то <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют '''ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций'''. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической [[Центральная предельная теорема|Центральной предельной теоремы]].
Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если <math>\phi_n(t) \to \phi(t)\; \forall t \in \mathbb{R}</math>, где <math>\phi_n(t)</math> характеристическая функция <math>X_n</math>, и <math>\phi(t)</math> характеристическая функция <math>X</math>, то <math>X_n \to X</math> по распределению при <math>n \to \infty</math>. Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют '''ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций'''. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической [[Центральная предельная теорема|Центральной предельной теоремы]].


==См. также==
== См. также ==


* [[Леви, Поль]].
* [[Леви, Поль]].

Версия от 14:32, 28 мая 2006

Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению.

Формулировка

Пусть последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве. Обозначим характеристическую функцию случайной величины , где , символом . Тогда если по распределению при , и — характеристическая функция , то

.

Обратно, если , где — функция действительного аргумента непрерывная в нуле, то является характеристической функцией некоторой случайной величины , и

по распределению при .

Замечание

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если , где — характеристическая функция , и — характеристическая функция , то по распределению при . Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций. Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы.

См. также