Магнитные поверхностные уровни

Магнитные поверхностные уровни — квантовые уровни энергии электронов, совершающих периодическое движение вдоль поверхности металла, параллельно которой приложено внешнее магнитное поле. Впервые обнаружены и объяснены М. С. Хайкиным в 1960 году при изучении осцилляций поверхностного сопротивления олова в слабом магнитном поле. Научное открытие, зарегистрированное в Государственном реестре открытий СССР.

Квазиклассическая теория

Рис. Траектории поверхностных электронов в реальном и импульсном пространствах

При зеркальном отражении носителей заряда поверхностью проводника в параллельном магнитном поле $H$ электроны движутся по «скачущим» траекториям, для которых каждый последующий участок воспроизводит предыдущий (см. Рис.). Движение электрона вдоль нормали к поверхности (ось $y$) периодично, и, согласно общим принципам квантовой механики, квантуется. Квазиклассические уровни энергии находятся из условия квазиклассического квантования Лифшица — Онсагера площади, которую ограничивает траектория электрона в импульсном пространстве (Рис.):

${{S}_{n}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left(n+\gamma \right)\,,\quad \quad (1)$

где $n\gg 1$ — целое положительное число, $e$ — здесь и далее абсолютная величина заряда электрона, $c$ — скорость света, $\hbar$ — приведенная постоянная Планка, $\left|\gamma \right|<1$. Расчёт на основании уравнения Шрёдингера (см. ниже) показывает, что $\gamma \approx -1/4$. В металлах наибольшую вероятность зеркального отражения от границы имеют электроны, сталкивающиеся с ней под малыми углами $\varphi \ll 1$, поскольку для таких электронов дебройлевская длина волны, связанная с движением по нормали к поверхности, меньше размера поверхностных неоднородностей. В этом случае площадь сегмента $S$ круга с ларморовским радиусом $r_{H}=cp/eH$ ($p$ — радиус кривизны орбиты в импульсном пространстве) и его высота $h$ равны:

$S\approx {\frac {2}{3}}r_{H}^{2}{{\varphi }^{3}};\quad h\approx {\frac {{{r}_{H}}{{\varphi }^{2}}}{2}}\,.\quad \quad (2)$

Используя формулы (1), (2) можно получить:

${{S}_{n}}={\frac {4}{3}}{{\left({\frac {eH}{c}}\right)}^{2}}{{\left(2h_{n}^{3}{{r}_{H}}\right)}^{1/2}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\,,\quad \quad (3)$

где $h_{n}$ — дискретные значения высоты сегмента. Поскольку при $y\ll r_{H}$ скорость электрона $\mathbf {v}$ направлена почти параллельно поверхности, ${{v}_{x}}\gg v_{y}$, то приближенно можно считать, что сила Лоренца направлена по нормали и её проекция на ось $y$ равна ${{F}_{y}}=(e/c)v_{x}H$, а каждому значению $h_{n}$, которое определяется из уравнения (3), соответствует энергия $\epsilon _{n}=F_{y}h_{n}$,

${{\epsilon }_{n}}={\frac {eHv_{x}{{h}_{n}}}{c}}={\frac {v_{x}}{2}}{{\left[{\frac {3\pi e\hbar H}{c{\sqrt {p}}}}\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]}^{2/3}}\,.\quad \quad (4)$

Квантовая теория. Общий случай

Для металла с произвольным законом дисперсии электронов проводимости $\epsilon =\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$, магнитные поверхностные уровни энергии $\epsilon _{n}$ и волновые функции $\psi \left(x,y,z\right)$ могут быть найдены из уравнения Шрёдингера

$\varepsilon \left(\mathbf {\hat {p}} +{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \left(x,y,z\right)=\epsilon \psi \left(x,y,z\right)\,,\quad \quad (5)$

где $\mathbf {\hat {p}} ={\frac {i}{\hbar }}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ — оператор квазиимпульса. Граничные условия к уравнению (5) описывают зеркальное отражение электрона от поверхности металла $y=0$ (в модели границы в виде бесконечно высокой потенциальной стенки) и затухание волновой функции электронов, сталкивающихся с границей, в объёме металла:

$\psi \left(x,0,z\right)=0;\quad \quad \psi \left(x,y\to \infty ,z\right)\to 0\,.\quad \quad (6)$

Магнитное поле направлено вдоль оси $z$. Калибровку векторного потенциала удобно выбрать в виде $\mathbf {A} =\left(-Hy,0,0\right)$. При малых расстояниях $y$ от границы $y=0$ разложение гамильтониана вблизи точки $p_{y0}$, в которой нормальная компонента скорости ${{v}_{y0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{y0}}=0$, имеет вид:

$\varepsilon \left({{\hat {p}}_{x}-{\frac {eHy}{c}}},{{\hat {p}}_{y}},{{\hat {p}}_{z}}\right)\approx \varepsilon \left({{\hat {p}}_{x}},{{p}_{y0}},{{\hat {p}}_{z}}\right)-{\frac {\partial \varepsilon }{\partial {{\hat {p}}_{x}}}}{\frac {eHy}{c}}-{\frac {{\hbar }^{2}}{2}}{\frac {{{\partial }^{2}}\varepsilon }{\partial p_{y0}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{y}^{2}}}}\,.\quad \quad (7)$

Волновая функция описывает свободное движение электрона в плоскости $xz$ и ограниченное квантованное движение вдоль оси $y$ :

$\psi \left(x,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(y\right)\exp \left({\frac {i}{\hbar }}{{p}_{x}}x+{\frac {i}{\hbar }}{{p}_{z}}z\right)\,,\quad \quad (8)$

а полная энергия электрона представляет собой сумму двух слагаемых:

$\epsilon \left(n,{{p}_{x}},{{p}_{z}}\right)={{\epsilon }_{n}}+\varepsilon \left({{p}_{x}},{{p}_{y0}},{{p}_{z}}\right)\,,$

где $\epsilon _{n}$ — квантованная часть энергетического спектра. Подстановка волновой функции (8) в уравнение Шредингера (5) с гамильтонианом (7) приводит к уравнению для функции ${{\varphi }_{n}}\left(y\right)$, совпадающему с уравнением Шредингера для частицы в треугольной квантовой яме (уравнения для функций Эйри):

$-{\frac {1}{2{{m}_{yy0}}}}{\frac {{{\partial }^{2}}{{\varphi }_{n}}\left(y\right)}{\partial {{y}^{2}}}}-e{{v}_{x0}}Hy{{\varphi }_{n}}\left(y\right)={{\epsilon }_{n}}{{\varphi }_{n}}\left(y\right)\,.$

Решение этого уравнения, удовлетворяющее граничному условию $\varphi _{n}\left(y\to \infty \right)\to 0$, выражается через функцию Эйри 1-го рода, $Ai(\xi )$:

$\varphi _{n}\left(y\right)={{C}_{n}}Ai\left(\alpha y-\alpha {{y}_{\epsilon _{n}}}\right)\,,$

где $C_{n}$ — нормировочная константа,

$\alpha ={{\left(2{{v}_{x0}}{{m}_{yy0}}{\frac {eH}{c{{\hbar }^{2}}}}\right)}^{1/3}}\,,\quad {{y}_{\epsilon _{n}}}={\frac {\epsilon _{n}c}{eH}}\,.$

Здесь ${{v}_{x0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{x}}$ — $x$-компонента скорости электрона и ${m_{yy0}^{-1}}={{\partial }^{2}}\varepsilon /\partial p_{y0}^{2}$ — соответствующая компонента тензора обратных эффективных масс при $p_{y}=p_{y0}$. Квантовые уровни энергии находятся с помощью граничного условия ${{\varphi }_{n}}\left(0\right)=0$, которое приводит к требованию $\alpha {{y}_{\epsilon _{n}}}={{a}_{n}}$, где $-a_{n}$ — нули функции Эйри, $Ai(-a_{n})=0$. В результате для квантованной части энергии электрона получаем следующее выражение:

${{\epsilon }_{n}}={\frac {{{\hbar }^{2}}{{\alpha }^{2}}{{a}_{n}}}{2{{m}_{yy0}}}}={\frac {{a}_{n}}{2}}{{\left({\frac {2\hbar eH{{v}_{x0}}}{c{\sqrt {{m}_{yy0}}}}}\right)}^{2/3}}\,,\quad \quad (9)$

где $n=1,2,3...\,.$ При достаточно больших значениях $n$ справедлива следующая асимптотическая формула: ${{a}_{n}}\simeq {{\left[(3\pi /2)\left(n-1/4\right)\right]}^{2/3}}$.

Экспериментальное наблюдение

Магнитные поверхностные уровни появляются, например, в виде резонансов в поверхностном сопротивлении металла, измеряемом на сверхвысоких частотах $\omega$ в зависимости от величины магнитного поля, направленного вдоль поверхности. Частоты резонансов удовлетворяют условию

$\omega ={{\omega }_{nm}}={\frac {{{\epsilon }_{n}}-{{\epsilon }_{m}}}{\hbar }},$

где уровни энергии ${{\epsilon }_{n\left(m\right)}}$ определяются формулой (9), в которой значения скорости и эффективной массы следует взять при значении энергии, равной энергии Ферми, а проекцию импульса на направление магнитного поля, $p_{z}$, определяется из условия экстремума $\partial {{\omega }_{nm}}/\partial {{p}_{z}}=0$. Эффект наблюдается при низких температурах в интервале 1,6 — 4,2 К в чистых совершенных монокристаллах, имеющих оптически гладкую поверхность. Интервал полей, в котором наблюдаются резонансы, составляет от сотых долей до единиц эрстед при частоте порядка 10 ГГц.