Длина окружности

Длина окружности C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference = $\pi$ × D = 2 × $\pi$ × R.

Длина окружности — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга, или диска, длина окружности является частным случаем периметра. Периметр — общая длина границы фигуры.

Круг

Длина окружности может быть определена как предел последовательности периметров вписанных в круг правильных многоугольников. Термин длина окружности используется при измерении физических объектов, а также, если рассматривать абстрактные геометрические формы.

Если диаметр окружности равен 1, её длина равна $\pi$.

Если радиус окружности равен 1, её длина равна $2\pi$.

Длина окружности и число пи

Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом пи. Число пи обозначается греческой буквой пи ($\pi$). Первые цифры числа в десятичной записи — 3.141592653589793 ... Пи определяется как отношение длины окружности $C$ к её диаметру $d$:

$\pi ={\frac {C}{d}}$

Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к двум ее радиусам. Формула выше принимает вид:

${C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!$

Использование константы $\pi$ является повсеместным в науке и приложениях.

В книге «Измерение круга», написанной около 250 до н.э., Архимед показал, что это отношение ($C/d$, поскольку он не использовал обозначение $\pi$) больше 310/71, но меньше 31/7, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами. Этот метод аппроксимации числа $\pi$ использовался столетиями, так как имел большую точность, нежели формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году Кристоф Гринбергер, использовавшим многоугольники с 10⁴⁰ сторонами.

Эллипс

Нет общей формулы для вычисления длины границы эллипса через большие и малые полуоси эллипса, которая бы использовала только элементарные функции. Однако, есть приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры. Одно из приближений получено Эйлером (1773); периметр эллипса, записанного каноническим уравнением:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

приблизительно равен

$C_{\rm {ellipse}}\sim \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}$

Нижние и верхние границы периметра канонического эллипса при $a\geq b$ .

$2\pi b\leqslant C\leqslant 2\pi a,$

$\pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b),$

$4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leqslant C\leqslant \pi {\sqrt {2(a^{2}+b^{2})}}.$

Здесь верхняя граница $2\pi a$ — длина описанной концентричной окружности, проходящего через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ — периметр вписанного ромба, вершины которого — концы больших и малых осей.

Периметр эллипса может быть описан с помощью полного эллиптического интеграла второго рода. Более точно:

$C_{\rm {ellipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,$

где $a$ — длина большой полуоси и $e$ — эксцентриситет ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

См. также

• Длина дуги
• Изопериметрическое неравенство
• Эллипс

Литература

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М.: Вита-Пресс, 2003.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр.

Ссылки

• Numericana - Circumference of an ellipse