Десятиугольник: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Lesless (обсуждение | вклад) м откат правок 85.174.196.89 (обс.) к версии Alhadis Метка: откат |
|||
Строка 24: | Строка 24: | ||
Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны): |
Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны): |
||
<math> A = \frac{ |
<math> A = \frac{5}{2}t^2 \ ctg \frac{\pi}{10} = \frac{5t^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx 7.694208842938134 t^2.</math> |
||
Альтернативная формула <math> A=2.5dt</math>, где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так: |
Альтернативная формула <math> A=2.5dt</math>, где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так: |
||
<math> d=2t\left(\cos\tfrac{3\pi}{ |
<math> d=2t\left(\cos\tfrac{3\pi}{10}+\cos\tfrac{\pi}{10}\right),</math> |
||
и может быть представлен в радикалах как |
и может быть представлен в радикалах как |
||
Строка 34: | Строка 34: | ||
<math> d=t\sqrt{5+2\sqrt{5}}.</math> |
<math> d=t\sqrt{5+2\sqrt{5}}.</math> |
||
Сторона правильного десятиугольника, вписанного в [[Единичная окружность|единичную окружность]], равна <math> \tfrac{\sqrt{5}- |
Сторона правильного десятиугольника, вписанного в [[Единичная окружность|единичную окружность]], равна <math> \tfrac{\sqrt{5}-1}{2}=\tfrac{1}{\varphi}</math>, где <math> \varphi</math> - [[золотое сечение]]. |
||
Радиус описанной окружности десятиугольника равен |
Радиус описанной окружности десятиугольника равен |
||
Строка 56: | Строка 56: | ||
== Разбиение правильного десятиугольника == |
== Разбиение правильного десятиугольника == |
||
[[Коксетер, Гарольд|Гарольдом Коксетером]] было доказано, что правильный <math>2m</math>-угольник (в общем случае - <math>2m</math>-угольный [[зоногон]]) можно разбить на <math>\frac{m(m- |
[[Коксетер, Гарольд|Гарольдом Коксетером]] было доказано, что правильный <math>2m</math>-угольник (в общем случае - <math>2m</math>-угольный [[зоногон]]) можно разбить на <math>\frac{m(m-1)}{2}</math> ромбов. Для декагона <math>m=5</math>, так что он может быть разбит на 10 ромбов. |
||
{| class="wikitable" |
{| class="wikitable" |
||
! colspan="2" |Разбиение правильного десятиугольника |
! colspan="2" |Разбиение правильного десятиугольника |
Версия от 05:50, 1 декабря 2022
Правильный десятиугольник | |
---|---|
Сторон и вершин | 10 |
Символ Шлефли | {10} |
Внутренний угол | 144° |
Симметрия | Диэдрическая (), порядок 20. |
Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.
Правильный десятиугольник
У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.
Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):
Альтернативная формула , где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:
и может быть представлен в радикалах как
Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна , где - золотое сечение.
Радиус описанной окружности десятиугольника равен
а радиус вписанной окружности
Построение
По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:
- Построить сначала правильный пятиугольник.
- Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
- Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.
Разбиение правильного десятиугольника
Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный -угольник (в общем случае - -угольный зоногон) можно разбить на ромбов. Для декагона , так что он может быть разбит на 10 ромбов.
Разбиение правильного десятиугольника | |
---|---|
Пространственный десятиугольник
Правильные пространственные десятиугольники | ||
---|---|---|
{5}#{ } | {5/2}#{ } | {5/3}#{ } |
Пентаграммная антипризма |
Пентаграммная антипризма с перекрёстом |
Пространственный десятиугольник — это пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.
У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D5d [2+,10] симметрией порядка 20.
Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.
Ортогональные проекции многогранников | |||
---|---|---|---|
Додекаэдр | Икосаэдр | Икосододекаэдр | Ромботриаконтаэдр |
Многоугольники Петри
Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.
A9 | D6 | B5 | ||
---|---|---|---|---|
9-симплекс | 411 | 131 | 5-ортоплекс | 5-куб |
Примечания
- ↑ Геометрия по Киселёву Архивная копия от 1 марта 2021 на Wayback Machine, §225.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Decagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- На Викискладе есть медиафайлы по теме Десятиугольник