Циклоида

Запрос «Таутохронность»^[d] перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Катящаяся окружность рисует циклоиду

Цикло́ида (от греч. κυκλοειδής «круглый») — плоская трансцендентная кривая.

Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности (радиуса $r$), катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса $r$. Циклоида описывается:

• параметрически

  $x=rt-r\sin t$

  $y=r-r\cos t$.

• уравнением в декартовых координатах

  $x=r\arccos {\frac {r-y}{r}}-{\sqrt {2ry-y^{2}}}$.

• как решение дифференциального уравнения

  $\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r-y}{y}}$.

Свойства

Таутохронность циклоиды

Колебания с циклоидным регулятором.

• Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом $2\pi r$. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида $t=2\pi k$, где $k$ — произвольное целое число.
• Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• Длина арки циклоиды равна $8r$. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658). Зависимость длины дуги циклоиды (s) от параметра t следующая: $s(t)=4r(1-\cos {t \over 2})$.
• Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли сообщил, что этот факт Галилей открыл экспериментально: сравнил вес пластинок с кругом и с аркой циклоиды. Математически этот факт первым доказал Роберваль около 1634 года с помощью метода неделимых.
• Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен $4r\sin {\frac {t}{2}}$.
• «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды. (Непосредственное следствие таутохронности).
• Теорема Х. Гюйгенса. Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в «острия».
  • Два последних свойства, открытые Гюйгенсом, были им использован для создания точных механических часов.
• Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые: циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида (ср. построение лемнискаты Бернулли).

Исторический очерк

Первыми из учёных обратили внимание на циклоиду Николай Кузанский в XV веке и Шарль де Бовель в труде 1501 года. Но серьёзное исследование этой кривой началось только в XVII веке.

Название циклоида придумал Галилей (во Франции эту кривую сначала называли рулеттой). Содержательное исследование циклоиды провёл современник Галилея Мерсенн. Среди трансцендентных кривых (то есть кривых, уравнение которых не может быть записано в виде многочлена от $x,y$), циклоида — первая из исследованных.

Паскаль писал о циклоиде:

Рулетта является линией столь обычной, что после прямой и окружности нет более часто встречающейся линии; она так часто вычерчивается перед глазами каждого, что надо удивляться тому, как не рассмотрели её древние… ибо это не что иное, как путь, описываемый в воздухе гвоздём колеса...

Оригинальный текст (фр.)

La Roulette est une ligne si commune, qu'apres la droitte, & la circulaire, il n'y en a point de si frequente; Et elle se décrit si fouuent aux yeux de tout le monde, qu'il y a lieu de s'estonner qu'elle n'ait point esté considerée par les anciens, dans lesquels on n'en trouue rien : Car ce n'est autre chose que le chemin que fait en l'air, le clou d'une rouë...

Новая кривая быстро завоевала популярность и подверглась глубокому анализу, в котором участвовали Декарт, Ферма, Ньютон, Лейбниц, братья Якоб и Иоганн Бернулли и другие корифеи науки XVII—XVIII веков. На циклоиде активно оттачивались методы появившегося в те годы математического анализа.

Тот факт, что аналитическое исследование циклоиды оказалось столь же успешным, как и анализ алгебраических кривых, произвёл большое впечатление и стал важным аргументом в пользу «уравнения в правах» алгебраических и трансцендентных кривых.

См. также

• Гипоциклоида
• Эпициклоида
• Трохоида
• Циклоидальная кривая

Литература

• Берман Г. Н. Циклоида. М., Наука, 1980, 112 с.
• Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — С. 126-165. — ISBN 5-900916-83-9.
• Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Наука 1978 г., стр. 32.

Ссылки

• Циклоидальные кривые (Анимация).