Вырождение (квантовая механика)

Вырожденные состояния в квантовой системе

Вырождение (квантовая механика) — явление, при котором некоторая физическая величина (например. энергия, импульс и т. д.), характеризующая квантовую физическую систему, принимает одно и то же значение для разных состояний квантовой физической системы. Кратностью вырождения называется число различных состояний квантовой физической системы, имеющих одно и то же значение физической величины.

Математически это значит, что оператор этой физической величины имеет вырожденное собственное значение. Кратность вырождения равна размерности собственного подпространства для данного собственного значения. В случае вырождения недостаточно знать значения вырожденной физической величины, чтобы полностью охарактеризовать состояние системы, необходимо знать также значение других физических величин, которые все вместе образуют полную систему коммутирующих наблюдаемых.

Пример вырождения — случай нахождения частицы массой $m$ в квантовой нити квадратного сечения (движение по двум координатам $x$ и $y$ ограничено: $0<x<L$, $0<y<L$, а по третьей координате $z$ свободно). В таком случае набор возможных энергий записывается как

$E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})=E^{*}\cdot (n_{x}^{2}+n_{y}^{2})$,

где $n_{x}$, $n_{y}$ — натуральные числа, а $E^{*}=\,$const. Здесь, например, уровень $E=5E^{*}$ оказывается двукратно вырожденным (ему соответствуют и комбинация $n_{x}=1,\,n_{y}=2$, и комбинация $n_{x}=2,\,n_{y}=1$), а уровень $E=50E^{*}$ вырожден трёхкратно (варианты: $n_{x}=1,\,n_{y}=7$; $n_{x}=5,\,n_{y}=5$; $n_{x}=7,\,n_{y}=1$).

Вырождение играет фундаментальную роль в квантовой статистической механике. Для системы из N частиц в трех измерениях один уровень энергии может соответствовать нескольким различным волновым функциям. Все эти вырожденные состояния на одном уровне с равной вероятностью могут быть заполнены. Количество таких состояний дает вырождение того или иного уровня энергии.

Литература

• ред. Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 528 с.