Длина окружности: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Kirelagin (обсуждение | вклад) м Удалена бессмысленная калька с оригинальной статьи на английском |
ок Метки: замена отменено через визуальный редактор |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[File:Circle-withsegments.svg|thumb|'''Длина окружности''' C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference = <math>\pi</math> × D = 2 × <math>\pi</math> × R.]] |
|||
'''Длина окружности''' — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга, или диска, длина окружности является частным случаем периметра<ref>{{citation|first1=Jeffrey|last1=Bennett|first2=William|last2=Briggs|title=Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.)|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|year=2005|isbn=978-0-321-22773-7|page=580}} </ref><ref>{{cite web | url =http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | title =Perimeter, Area and Circumference | author =San Diego State University | publisher =[[Addison-Wesley]] | year =2004 | archive-url =https://web.archive.org/web/20141006153741/http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | archive-date =2014-10-06 | author-link =San Diego State University | accessdate =2020-03-06 | deadlink =yes }}</ref>. [[Периметр]] — общая длина границы фигуры. |
|||
== Круг == |
|||
Длина окружности может быть определена как [[предел последовательности]] периметров вписанных в круг [[правильный многоугольник|правильных многоугольников]]<ref>{{citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry (англ.)|year=1974|publisher=W. H. Freeman and Co.|isbn=0-7167-0456-0|page=565}}</ref>. Термин длина окружности используется при измерении физических объектов, а также, если рассматривать абстрактные геометрические формы. |
|||
[[File:Pi-unrolled-720.gif|thumb|240px|Если [[диаметр]] окружности равен 1, её длина равна <math>\pi</math>.]] |
|||
[[File:2pi-unrolled.gif|thumb|240px|Если [[радиус]] окружности равен 1, её длина равна <math>2\pi</math>.]] |
|||
=== Длина окружности и число пи === |
|||
Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом [[Пи (число)|пи]]. [[Число пи]] обозначается [[греческий алфавит|греческой буквой]] [[Пи (буква)|пи]] (<math>\pi</math>). Первые цифры числа в десятичной записи — 3.141592653589793 ...<ref>{{citation|last= Sloane, N. J. A. Sequence {{OEIS2C|id=A000796}}|title=[[Энциклопедия целочисленных последовательностей|On-Line Encyclopedia of Integer Sequences OEIS]]|publisher= OEIS Foundation.}}</ref> Пи определяется как [[соотношение|отношение]] длины окружности <math>C</math> к её диаметру <math>d</math>: |
|||
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math> |
|||
Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к двум ее [[радиус]]ам. Формула выше принимает вид: |
|||
:<math>{C}=\pi\cdot{d}=2\pi\cdot{r}.\!</math> |
|||
Использование константы <math>\pi</math> является повсеместным в науке и приложениях. |
|||
В книге «{{нп5|Измерение круга|Измерение круга|en|Measurement of a Circle}}», написанной около 250 до н.э., [[Архимед]] показал, что это отношение (<math>C/d</math>, поскольку он не использовал обозначение <math>\pi</math>) больше 3{{sfrac|10|71}}, но меньше 3{{sfrac|1|7}}, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction (англ.)|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison-Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 109]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109}}</ref>. Этот метод аппроксимации числа <math>\pi</math> использовался столетиями, так как имел большую точность, нежели формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 году {{iw|Гринбергер, Кристоф|Кристоф Гринбергер|en|Christoph Grienberger}}, использовавшим многоугольники с 10<sup>40</sup> сторонами. |
|||
== Эллипс == |
|||
Нет общей формулы для вычисления длины границы эллипса через большие и малые полуоси эллипса, которая бы использовала только элементарные функции. Однако, есть приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры. Одно из приближений получено Эйлером (1773); периметр эллипса, записанного каноническим уравнением: |
|||
:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,</math> |
|||
приблизительно равен |
|||
:<math>C_{\rm{ellipse}} \sim \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}</math> |
|||
Нижние и верхние границы периметра канонического эллипса при <math>a\geq b</math> <ref>{{статья |заглавие=Inequalities for the perimeter of an ellipse (англ.) |издание={{Нп3|The Mathematical Gazette|Mathematical Gazette|en|The Mathematical Gazette}} |том= 98 |номер=499 |страницы=227—234 |doi=10.2307/3621497 |jstor=3621497 |язык=en |тип=journal |автор=Jameson, G.J.O. |год=2014}}</ref>. |
|||
:<math>2\pi b \leqslant C \leqslant 2\pi a,</math> |
|||
:<math>\pi (a+b)\leqslant C\leqslant 4(a+b),</math> |
|||
:<math>4\sqrt{a^2+b^2}\leqslant C \leqslant \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} .</math> |
|||
Здесь верхняя граница <math>2\pi a</math> — длина описанной концентричной окружности, проходящего через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница <math>4\sqrt{a^2+b^2}</math> — периметр вписанного [[ромб]]а, [[вершина (геометрия)|вершины]] которого — концы больших и малых осей. |
|||
Периметр эллипса может быть описан с помощью [[эллиптический интеграл|полного эллиптического интеграла второго рода]]<ref>{{citation|first1=Gert|last1=Almkvist|first2=Bruce|last2=Berndt|title=Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, pi, and the Ladies Diary (англ.)|journal=American Mathematical Monthly|year=1988|pages=585–608|volume=95|issue=7|mr=966232|doi=10.2307/2323302|jstor=2323302|url=https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52}}</ref>. Более точно: |
|||
:<math>C_{\rm{ellipse}} = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta,</math> |
|||
где <math>a</math> — длина большой полуоси и <math>e</math> — эксцентриситет <math>\sqrt{1 - b^2/a^2}.</math> |
|||
== См. также == |
|||
* [[Длина дуги]] |
|||
* [[Изопериметрическое неравенство]] |
|||
* [[Эллипс]] |
|||
== Примечания == |
|||
{{примечания}} |
|||
== Литература == |
|||
* {{книга|автор=[[Атанасян, Левон Сергеевич|Атанасян Л. С.]], [[Бутузов, Валентин Фёдорович|Бутузов В. Ф.]] и др. |
|||
|заглавие=Геометрия |часть=Дополнительные главы к учебнику 8 класса |
|||
|издание=3-е издание |место=М. |издательство=Вита-Пресс |год=2003}} |
|||
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |место=М. |издательство=Наука |год=1978 |
|||
|заглавие=Справочник по элементарной математике |ref=Справочник по элементарной математике}} |
|||
** Переиздание: М.: АСТ, 2006, ISBN 5-17-009554-6, 509 стр. |
|||
== Ссылки == |
|||
{{wikibooks|Geometry|Circles/Arcs|Arcs}} |
|||
{{Wiktionary|длина окружности}} |
|||
* [http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#elliptic Numericana - Circumference of an ellipse] |
|||
[[Категория:Окружности]] |
[[Категория:Окружности]] |
||