Колебательный контур

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая параллельно соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур- простейшая система в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

Принцип действия

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения $U_{0}$. Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

$E_{C}={\frac {CU_{0}^{2}}{2}}$

Колебательный контур

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности в цепи потечёт ток $I$, что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия колебательного контура $E_{C}=0$. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

$E_{L}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}}$, где $L$ — индуктивность катушки, $I_{0}$ — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения $-U_{0}$.

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процесы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличии от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

Математическое описание процессов

Напряжение, возникающее в катушке при изменении протекающего тока равно

$u_{L}=-L{\frac {di_{L}}{dt}}$.

Аналогично для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

$i_{C}=C{\frac {du_{C}}{dt}}$.

Поскольку всё возникающее в катушке напряжение падает на конденсаторе, то $u_{L}=u_{C}$, а ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то $i_{C}=i_{L}$. Дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем

${\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0$

Это уравнение гармонического осциллятора с круговой частотой $\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ (иначе она называется собственной частотой гармонического осциллятора)

Решением такого уравнения является

$i(t)=I_{a}\sin({\omega }t+\varphi )$

где $I_{a}$ — некая постоянная, называемая амплитудой колебаний, $\varphi$ — также некоторая постоянная, называемая начальной фазой. И, например, при начальных условиях $i=0$ решение сведётся к

$~i(t)=I_{a}\sin({\omega }t)$

Решение может быть записано также в виде

$~i(t)=I_{a1}\sin({\omega }t)+I_{a2}\cos({\omega }t)$

где $I_{a1}$ и $I_{a2}$ - некоторые константы, которые связаны с амплитудой $I_{a}$ и фазой $\varphi$ следующими отношениями

$~I_{a1}=I_{a}\cos {(\varphi )}$

$~I_{a2}=I_{a}\sin {(\varphi )}$

Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура

Колебательный контур может быть рассмотрен как двуполюсник. Колебательный контур может быть рассмотрен как параллельное включение двух комплексных сопротивлений ёмкости и индуктивности. Комплексное сопротивление такого двуполюсника можно записать как

${\hat {z}}(i\omega )\;={\frac {i\omega L}{1-\omega ^{2}LC}};$

( )

где $~i$ - мнимая единица. Для такого двухполюсника может быть определена т.н. характеристическая частота (она же резонансная частота), когда импеданс колебательного контура стремится к бесконечности (знаменатель дроби стремиться к нулю). Эта частота равна

$\omega _{h}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ ( )

и совпадает по значению с собственной частотой колебательного контура.

См. также

Электрический импеданс

Многополюсник

Электромагнитное излучение

Литература

• Скрипников Ю. Ф. Колебательный контур — М.: Энергия, 1970 — 128 с.: ил. — (МРБ; Вып. 739)