Параллелограмм: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tchenand (обсуждение | вклад) →Площадь параллелограмма: Удаляю подраздел "Существование параллелограмма". См. СО. |
Нет описания правки Метки: отменено через визуальный редактор |
||
Строка 8: | Строка 8: | ||
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]] |
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]] |
||
* Противолежащие стороны параллелограмма равны. |
* Противолежащие стороны параллелограмма равны. |
||
* Противолежащие углы параллелограмма равны. |
* Противолежащие углы параллелограмма равны у меня 3 по геометрии(. |
||
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых). |
||
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: |
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: |
Версия от 12:03, 26 октября 2023
Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения )
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
Свойства
- Противолежащие стороны параллелограмма равны.
- Противолежащие углы параллелограмма равны у меня 3 по геометрии(.
- Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
- Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
- .
- Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
- Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
- Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
- Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
- — длина стороны ,
- — длина стороны ,
- и — длины диагоналей; тогда
- Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
- Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.
Признаки параллелограмма
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):
- У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
- Все противоположные углы попарно равны: .
- У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: .
- Все противоположные стороны попарно параллельны: .
- Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
- Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
- Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .
Площадь параллелограмма
- Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
- Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
- , где — сторона, — высота, проведённая к этой стороне.
- Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:
- где и — смежные стороны, — угол между сторонами и .
- Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
- где
См. также
Примечания
Для улучшения этой статьи желательно:
|