Параллелограмм: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Площадь параллелограмма: Удаляю подраздел "Существование параллелограмма". См. СО.
Нет описания правки
Строка 8: Строка 8:
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
[[File:Противоположные углы параллелограмма.svg|thumb|Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°]]
* Противолежащие стороны параллелограмма равны.
* Противолежащие стороны параллелограмма равны.
* Противолежащие углы параллелограмма равны.
* Противолежащие углы параллелограмма равны у меня 3 по геометрии(.
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
* Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
* Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:

Версия от 12:03, 26 октября 2023

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμονπαράλληλος «параллельный» + γραμμή «линия») — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. (См. другие определения )

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°
  • Противолежащие стороны параллелограмма равны.
  • Противолежащие углы параллелограмма равны у меня 3 по геометрии(.
  • Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
    .
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
  • Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
  • Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть
 — длина стороны ,
 — длина стороны ,
и  — длины диагоналей; тогда
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: .
  2. Все противоположные углы попарно равны: .
  3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: .
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны: .
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: .
  6. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру.
  7. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту
Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
  • Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
, где  — сторона,  — высота, проведённая к этой стороне.
  • Площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними:
где и  — смежные стороны,  — угол между сторонами и .
  • Также площадь параллелограмма может быть выражена через стороны и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:
где

См. также

Примечания