Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})$ векторов ${\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}}$ — скалярное произведение вектора ${\bar {a}}$ на векторное произведение векторов ${\bar {b}}$ и ${\bar {c}}$:

$({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})=\langle {\bar {a}},[{\bar {b}},{\bar {c}}]\rangle ={\bar {a}}\cdot \left({\bar {b}}\times {\bar {c}}\right)$.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Смешанное произведение численно равно объёму параллелепипеда, образованного векторами a, b, c.

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
      $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})=({\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {a}})=({\bar {c}},{\bar {a}},{\bar {b}})=-({\bar {b}},{\bar {a}},{\bar {c}})=-({\bar {c}},{\bar {b}},{\bar {a}})=-({\bar {a}},{\bar {c}},{\bar {b}});$
  т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.
• Смешанное произведение $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов ${\bar {a}},{\bar {b}}$ и ${\bar {c}}$:
      $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$
  В частности,
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл - Смешанное произведение $({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами ${\bar {a}},{\bar {b}}$ и ${\bar {c}};$ знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты:

$({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}})=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В $\ n$-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы $n\times n$, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный $\ n$-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

$({\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},...)=\sum _{i,j,k,...}\varepsilon _{ijk...}a^{i}b^{j}c^{k}...$

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

• Тройное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение