Матрица Якоби

Матрица Я́ко́би отображения $\mathbf {u} \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ в точке $x\in \mathbb {R} ^{n}$ описывает главную линейную часть произвольного отображения $\mathbf {u}$ в точке $x$.

Определение

Пусть задано отображение $\mathbf {u} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{m}),u_{i}=u_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),i=1,\ldots ,m,$ имеющее в некоторой точке $x$ все частные производные первого порядка. Матрица $J$, составленная из частных производных этих функций в точке $x$, называется матрицей Якоби данной системы функций.

$J(x)={\begin{pmatrix}{\partial u_{1} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{1} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{1} \over \partial x_{n}}(x)\\{\partial u_{2} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{2} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{2} \over \partial x_{n}}(x)\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\partial u_{m} \over \partial x_{1}}(x)&{\partial u_{m} \over \partial x_{2}}(x)&\cdots &{\partial u_{m} \over \partial x_{n}}(x)\end{pmatrix}}$

Связанные определения

• Если $m=n$, то определитель $|J|$ матрицы Якоби называется определителем Якоби (якобиа́ном) системы функций $u_{1},\ldots ,u_{n}$.
• Отображение называют невырожденным, если его матрица Якоби имеет максимальный возможный ранг:

  $\mathrm {rang} \,J=\min(m,n)$

Свойства

• Если все $u_{i}$ непрерывно дифференцируемы в окрестности $\mathbf {x} _{0}$, то

  $\mathbf {u} (x)=\mathbf {u} (x_{0})+J(x_{0})(\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})+o(|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|)$

• Пусть $\varphi \colon {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}_{m},~\psi \colon {\mathbb {R}}^{m}\to {\mathbb {R}}^{k}$ — дифференцируемые отображения, $J_{\varphi }$, $J_{\psi }$ — их матрицы Якоби. Тогда матрица Якоби композиции отображений равна произведению их матриц Якоби (свойство функториальности):

  $J_{\psi \circ \varphi }(x)=J_{\psi }(\varphi (x))J_{\varphi }(x)$

См. также

• Дифференциал