Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора — его использовали ещё в XIV веке в Индии, а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение

1. Многочленом Тейлора функции $f(x)$ вещественной переменной $x$, дифференцируемой $k$ раз в точке $a$, называется конечная сумма

$\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при $x-a=h\to 0$ верно $f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+O(h^{2})\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)$.

При записи суммы использованы обозначение $f^{(0)}(x)=f(x)$ и соглашение о произведении по пустому множеству: $0!=1$, $(x-a)^{0}=1$.

2. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(x)$ вещественной переменной $x$, бесконечно дифференцируемой в окрестности точки $a$, называется формальный степенной ряд

$f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)$ с общим членом $\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}$, зависящим от параметра $a$.

Другими словами, рядом Тейлора функции $f(x)$ в точке $a$ называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена $(x-a)$:

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,$.

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции $f(x)$ в окрестности точки $a$ не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки $a$.

3. Рядом Тейлора в точке $a$ функции $f(z)$ комплексной переменной $z$, удовлетворяющей в некоторой окрестности $U\subseteq \mathbb {C}$ точки $a$ условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}$.

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса $R>0$, что в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ ряд сходится к функции $f(z)$.

4. В случае $a=0$ ряд

$f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция

1. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ называется аналитической в точке $x=a$, если существуют такой радиус $R>0$ и такие коэффициенты $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$, $k=0,1,2,\dots \,$, что $f(x)$ может быть представлена в виде сходящегося на интервале $(a-R;a+R)$ степенного ряда: $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,$, то есть $\forall x\in (a-R;a+R)$ $\Rightarrow$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)$.

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ на любом компактном подмножестве $K$ области сходимости $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в $k$-ю производную функции $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ подставить $z=a$, то получится ${c_{k}}\cdot k!$.

Таким образом, для аналитической в точке $a$ функции $f(z)$ для некоторого $R>0$ всюду в $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ является верным представление $f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}$.

Следствие. Функция $f(x)$ вещественной переменной $x$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром $a$ на некотором открытом интервале, содержащем точку $a$.

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке $a$ функции $f(x)$ вещественного переменного $x$ её ряд Тейлора $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$ сходиться к $f(x)$ всюду на каком-нибудь интервале $(a-R;a+R)$, то есть представима ли $f(x)$ этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности $a$.

Примеры. Функции вещественной переменной $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$, $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,$, $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ являются бесконечно дифференцируемыми в точке $x=0$, причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром $a=0$ тождественно равны нулю. Однако, для любого $R>0$ в окрестности $(-R;+R)$ точки $a=0$ найдутся точки, в которых функции отличны от $0$. Таким образом, эти функции не являются в точке $a=0$ аналитическими.

Доказательство

Доказательство проведём для функции $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$, предложенной Огюстеном Луи Коши.

Функция $\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$, является аналитической функцией комплексной переменной для всех $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$.

Для $z\neq 0$ очевидно, что ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$.

Функция $f(x)$ для $x\in \mathbb {R}$ — это «исправленная» функция $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$, $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$, дополненная пределами слева $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ и справа $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ в точке $x=0$.

Найдём производную функции $f(x)$ в точке $x=0$. По определению: $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$.

Поскольку для $x\in (0;1)$ выполняется $0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}$, то докажем, что для произвольного $\alpha >0$ верно $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0$.

Применение правила Лопиталя непосредственно к частям

$\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0$ не приводит к результату.

Выполним замену переменной: ${\frac {1}{x}}=t$:

$\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}$.

Пусть $k=\lceil \alpha \rceil$. Применяя правило Лопиталя $k$ раз, в числителе получим либо (при $\alpha =k$) константу $k!$, либо (при $\alpha <k$) бесконечно малую $\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}$:

$\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0$.

Таким образом,

$f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0$.

Найдём (для $x\neq 0$) несколько начальных производных функции $f(x)$:

$f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}$

$f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)$

$f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)$

И так далее. Во всех случаях, очевидно, получается произведение $f(x)$ на сумму целых отрицательных степеней $x$. Конечная сумма бесконечно малых является бесконечно малой. Таким образом, $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$.

Вычисляя последовательно по определению (как выше) производные $f(x)$ в точке $x=0$, обнаруживаем, что все производные в точке $x=0$ равны нулю.

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке $a$) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке $a$) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом: ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция ${\frac {1}{1-x}}$ определена для всех действительных чисел, кроме точки $x=1$, то ряд $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ сходится только при условии $|x|<1$.

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

$R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|$.

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию $e^{x}$. Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен $R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty$. Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси $x$ для любого параметра $a$.

4. От параметра — точки разложения $a$ ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного $a$) в ряд Тейлора функцию $f(x)={\frac {1}{1-x}}$: $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}$.

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента $x$, при любых значениях $a$ (кроме $a=1$) имеет один и тот же вид.

Действительно,

${\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}$.

Область сходимости ряда может быть задана неравенством $\left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1$. И теперь эта область зависит от $a$. Например, для $a=0$ ряд сходится при $x\in (-1;1)$. Для $a=0{,}5$ ряд сходится при $x\in (0;1)$.

Формула Тейлора

Предположим, что функция $f(x)$ имеет все производные до $n+1$-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку $x=a$. Найдем многочлен ${P_{n}}(x)$ степени не выше $n$, значение которого в точке $x=a$ равняется значению функции $f(x)$ в этой точке, а значения его производных до $n$-го порядка включительно в точке $x=a$ равняются значениям соответствующих производных от функции $f(x)$ в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}$, то есть это $n$-я частичная сумма ряда Тейлора функции $f(x)$. Разница между функцией $f(x)$ и многочленом ${P_{n}}(x)$ называется остаточным членом и обозначается ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$. Формула $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ называется формулой Тейлора. Остаточный член дифференцируем $n+1$ раз в рассматриваемой окрестности точки $a$. Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция $f(x)$ имеет $n+1$ производную на отрезке с концами $a$ и $x$, то для произвольного положительного числа $p$ найдётся точка $\xi$, лежащая между $a$ и $x$, такая, что $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).$

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

$R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1$

Вывод

Продифференцируем по $x$ обе части формулы Тейлора $n$ раз:

${\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(x-a)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x)''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!}}{{(x-a)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1)}}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(x-a)+{R_{n}}{(x)^{(n-1)}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}}\end{array}}$

(Отсюда, в частности, видно, что ${R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0$ — это свойство остаточного члена в любой форме.)

По теореме Лагранжа (поскольку $f(x)$ соответствует условиям теоремы) существует такая точка $\xi$ между $x$ и $a$ (то есть $\xi$ не равно ни $x$, ни $a$), что $f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)$. Отсюда ${R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)$. Продифференцируем последнее тождество ещё раз по $x$ и получим ${R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}$.

Пусть остаточный член задан в виде ${R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}$. Тогда, во-первых, он и все его производные равны нулю в точке $x=a$, во-вторых, ${R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}$. В конце ещё можно сделать замену переменной: $\xi =a+\theta (x-a),\qquad 0<\theta <1$. Формула выведена.

В форме Коши:

$R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1$

В интегральной форме:

$R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt$

Вывод

Методом интегрирования по частям получим ${\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}$

откуда

$f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)$

Ослабим предположения:

• Пусть функция $f(x)$ имеет $n-1$ производную в некоторой окрестности точки $a$ и $n$-ю производную в самой точке $a$, тогда:

В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):

$R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]$

Вывод

Поскольку ${R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0$, то предел отношения ${\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}$ при $x$, стремящемся к $a$, может быть найден по правилу Лопиталя: $\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!}}=0$

Поскольку предел равен нулю, это значит, что остаточный член $R_{n}(x)$ является бесконечно малой функцией более высокого порядка, чем $(x-a)^{n}$, при $x\to a$. А это и есть определение о-малого.

Критерий аналитичности функции

Основной источник:

Предположим, что некоторую функцию $f(x)$ нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке $x=a$. Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке $a$, и её ряд Тейлора с параметром $a$ может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка $x=a$, потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции $f(x)$ только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку $a$. Пусть ряд Тейлора с параметром $a$ такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех $x$ из окрестности $a$ по формуле Тейлора можно записать $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$, где $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция $f(x)$ является аналитической в точке $a$ тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки $a$ существует непрерывная область $X$ такая, что для всех $x\in X$ остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом $n$: $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$.

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию $e^{x}$. Её ряд Тейлора сходится на всей оси $x$ для любых параметров $a$. Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках $a$.

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид ${R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$, где $\xi _{n}$ — некоторое число, заключенное между $x$ и $a$ (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

$\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0$

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом $M$

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых $x$ и $a$.

Ряды Маклорена некоторых функций

• Экспонента: $\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} .$
• Натуральный логарифм («ряд Меркатора»): $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}$ для всех $-1<x\leq 1.$
• Биномиальное разложение: $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},$ для всех $\left|x\right|<1$ и всех комплексных $\alpha ,$ где $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$ — обобщённые биномиальные коэффициенты.
  • Квадратный корень: $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}+{\tfrac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n+1}(2n)!}{2^{2n}(2n-1)(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)(2n-1)}}x^{n}$ для всех $|x|\leq 1.$
  • Обратный квадратный корень: $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}x^{2}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}x^{n}$ для всех $-1<x\leq 1.$
  • Геометрические ряды:
    • ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n}$ для всех $|x|<1.$
    • ${\dfrac {1}{(1-x)^{2}}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}$ для всех $|x|<1.$
    • ${\dfrac {1}{(1-x)^{3}}}=1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}$ для всех $|x|<1.$
    • Конечный геометрический ряд: $\displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n}$ для всех $x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}.$
• Тригонометрические функции:
  • Синус: $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
  • Косинус: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
  • Тангенс: $\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {17}{315}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
  • Котангенс: $\displaystyle \operatorname {ctg} \ x=x^{-1}-{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}-{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
  • Секанс: $\displaystyle \sec x=1+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},$ где $E_{2n}$ — числа Эйлера.
  • Косеканс: $\displaystyle \operatorname {cosec} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}+{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}2\left(2^{2n-1}-1\right)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi ,$ где $B_{2n}$ — числа Бернулли.
• Обратные тригонометрические функции:
  • Арксинус: $\arcsin x=x+{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}+{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1$.
  • Арккосинус: $\arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}-{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
  • Арктангенс: $\operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
  • Арккотангенс: $\operatorname {arcctg} x={\pi \over 2}-\operatorname {arctg} x={\pi \over 2}-x+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}-\cdots ={\pi \over 2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$

• Гиперболические функции:
  • Гиперболический синус: $\operatorname {sh} x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
  • Гиперболический косинус: $\operatorname {ch} x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},\quad x\in \mathbb {C} .$
  • Гиперболический тангенс: $\operatorname {th} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$
  • Гиперболический котангенс: $\operatorname {cth} x=x^{-1}+{\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$
  • Гиперболический секанс: $\operatorname {sech} x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}-{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}.$
  • Гиперболический косеканс: $\operatorname {cosech} x=x^{-1}-{\tfrac {1}{6}}x+{\tfrac {7}{360}}x^{3}-{\tfrac {31}{15120}}x^{5}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}$ для всех $0<|x|<\pi .$

• Обратные гиперболические функции:
  • Гиперболический ареасинус: $\operatorname {arsh} x=x-{\tfrac {1}{2\cdot 3}}x^{3}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 5}}x^{5}-{\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 7}}x^{7}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)!!}{(2n)!!}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|\leq 1.$
  • Гиперболический ареатангенс: $\operatorname {arth} x=x+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{5}}x^{5}+{\tfrac {1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}$ для всех $\left|x\right|<1.$
• W-функция Ламберта: $W_{0}(x)=x-x^{2}+{\dfrac {3x^{3}}{2}}-{\dfrac {8x^{4}}{3}}+{\dfrac {125x^{5}}{24}}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n},|x|\leq 1/e.$

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция $f(x,y)$ имеет непрерывные производные до $(n+1)$-го порядка включительно в некоторой окрестности точки $(x_{0},y_{0})$. Введём дифференциальный оператор

$\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {\partial }{\partial x}}+(y-y_{0}){\dfrac {\partial }{\partial y}}$.

Тогда разложение (формула Тейлора) функции $f(x,y)$ по степеням $(x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}$ для $p+q\leq n$ в окрестности точки $(x_{0},y_{0})$ будет иметь вид

$f(x,y)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(x_{0},y_{0})}{k!}}+R_{n}(x,y),$

где $R_{n}(x,y)$ — остаточный член в форме Лагранжа:

$R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]$

Следует иметь в виду, что операторы ${\dfrac {\partial }{\partial x}}$ и ${\dfrac {\partial }{\partial y}}$ в $\mathrm {T} ^{k}$ действуют только на функцию $f(x,y)$, но не на $(x-x_{0})$ и/или $(y-y_{0})$.

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе $\mathrm {T}$.

В случае функции одной переменной $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$.

Формула Тейлора многих переменных

Для получения формулы Тейлора функции $n$ переменных $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$, которая в некоторой окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ имеет непрерывные производные до $(m+1)$-го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

$\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.$

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням $(x_{i}-a_{i})^{k_{i}}$ в окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ имеет вид

$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),$

где $R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})$ — остаточный член порядка $(m+1)$.

Для функции $n$ переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$, ряд Тейлора имеет вид:

$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\sum \limits _{i_{1}=1}^{n}\sum \limits _{i_{2}=1}^{n}...\sum \limits _{i_{k}=1}^{n}{\frac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{i_{1}}\partial x_{i_{2}}...\partial x_{i_{k}}}}(x_{i_{1}}-a_{1})(x_{i_{2}}-a_{2})...(x_{i_{n}}-a_{n})$.

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

$f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\overbrace {\sum \limits _{k_{1}=0}\sum \limits _{k_{2}=0}...\sum \limits _{k_{n}=0}} ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}=k}{\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}$.

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных $x$, $y$ и $z$ в окрестности точки $(0,0,0)$ до второго порядка малости. Оператор $\mathrm {T}$ будет иметь вид

$\mathrm {T} =x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+y{\dfrac {\partial }{\partial y}}+z{\dfrac {\partial }{\partial z}}.$

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

$f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=$

$=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);$

Учитывая, что

$T^{2}=x^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+y^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+2xy{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}+2xz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial z}}+2yz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y\partial z}},$

получим

$f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial y}}+z{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial z}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2}}}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+$

$+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).$

Например, при $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$,

$f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).$

Литература

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ, ч. 1, изд. 3, ред. А. Н. Тихонов. М.: Проспект, 2004.
• Камынин Л. И. Математический анализ. Т. 1, 2. — 2001.
• Груздов А. В., Березин С. В., Березин А. В., Березин П. В. Сборная Тейлора и Маклорена, Систематизация степенных рядов функций и операций. - 2023.
• Киселёв В. Ю., Пяртли А. С., Калугина Т. Ф. Высшая математика. Первый семестр, Интерактивный компьютерный учебник.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. В 2 т. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1967. — Т. 1: Начала теории. — 486 с.
• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. — пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.
• Петрова С. С., Романовска Д. А. К истории открытия ряда Тэйлора. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1980. — № 25. — С. 10—24.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 1. — 432 с.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2 т. — Изд. 13-е. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — Т. 2. — 560 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3 т. — Изд. 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — Т. I. — 680 с. — ISBN ISBN 5-9221-0156-0.