Лемма Линделёфа

Лемма Линделёфа — классическая лемма общей топологии, которая гласит, что если топологическое пространство удовлетворяет второй аксиоме счётности, то из всякого его открытого покрытия можно выделить счётное.

Доказательство

Пусть $\{{A_{\alpha }}\}_{\alpha \in \Lambda }$ — открытое покрытие топологического пространства $X$, а $\Sigma$ — его не более чем счётная база.

Рассмотрим не более чем счётное множество $S=\{V\in \Sigma \,|\,\exists \alpha \in \Lambda :V\subset A_{\alpha }\}$. Очевидно, что $S$ — покрытие $X$.

Введем функцию $i:S\rightarrow \Lambda$, сопоставляющую каждому $V\in S$ такое $\alpha$. Тогда $\{A_{\alpha }\,|\,\alpha \in i(S)\}$ — не более чем счётное подпокрытие.