Эпициклоида

Эпицикло́ида (от др.-греч. ὲπί — на, над, при и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внешней стороне другой окружности без скольжения. По свидетельству Лейбница, Оле Рёмер ранее 1676 года сделал важное в практическом отношении открытие, что эпициклоидические зубцы в зубчатом колесе производят наименьшее трение.

Уравнения

Если центр неподвижной окружности находится в начале координат, её радиус равен $R$, радиус катящейся по ней окружности равен $r$, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно $\varphi$:

${\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\\y=(R+r)\sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}$

где $\alpha$ — угол поворота точки, описывающей эпициклоиду, относительно центра подвижной окружности в момент начала движения (против часовой стрелки от оси x), $\varphi$ — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси $OX$.

Можно ввести величину $\textstyle k={\frac {R}{r}}$, тогда уравнения предстанут в виде

${\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y=r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}$

Величина $k$ определяет форму эпициклоиды. При $k=1$ эпициклоида образует кардиоиду, а при $k=2$ — нефроиду. Если $k$ — несократимая дробь вида ${\frac {m}{n}}$ ($m,n\in \mathbb {N}$), то $m$ — это количество каспов данной эпициклоиды, а $n$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если $k$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.

• Эпициклоиды при разных значениях параметра k:
• 
  $k=1$ (кардиоида)
• 
  $k=2$ (нефроида)
• 
  $k=3$
• 
  $k={\frac {3}{4}}$
• 
  $k={\frac {1}{3}}$
• 
  $k=0.5={\frac {1}{2}}$
• 
  $k=2.1={\frac {21}{10}}$
• 
  $k=3.8={\frac {19}{5}}$
• 
  $k=5.5={\frac {11}{2}}$
• 
  $k=7.2={\frac {36}{5}}$

Получение

Эскиз для доказательства

Пусть $P$ - искомая точка, $\alpha$ - угол отклонения точки $P$ от точки касания двух окружностей, $\theta$ - угол отклонения между центрами данных окружностей.

Так как окружность катится без скольжения, то $\ell _{R}=\ell _{r}$

По определению длины дуги окружности:

$\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r$

Из данных двух утверждений выплывает, что

$\theta R=\alpha r$

Получаем соотношения для $\alpha$:

$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$

Пусть центр неподвижной окружности $A$, центр второй окружности $B$. Очевидно, что ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}$

Перепишем в координатах:

${\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta ;\left(R+r\right)\sin \theta )}}+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right))}}$

Следовательно позиция точки $p$:

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

См. также

• Циклоида
• Гипоциклоида
• Эпитрохоида