Параллелограмм: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Спасено источников — 1, отмечено мёртвыми — 0. Сообщить об ошибке. См. FAQ.) #IABot (v2.0.9.5
Метки: отменено с мобильного устройства из мобильной версии
Строка 10: Строка 10:


Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является [[центр симметрии|центром симметрии]] параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два [[Конгруэнтность (геометрия)|равных]] треугольника. [[Средние линии четырёхугольника|Средние линии]] параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма <math>a, b</math> и опущенные на них высоты <math>h_a, h_b</math> соотносятся следующим образом:
: <math>\frac{a}{b}=\frac{h_b}{h_a}</math>


[[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
[[Тождество параллелограмма]]: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

Версия от 04:30, 6 августа 2024

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμονπαράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых[1]. Существуют другие варианты определения.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно)[1]. Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма и опущенные на них высоты соотносятся следующим образом:

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

,

где  и  — длины смежных сторон, а и  — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  • у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: и ;
  • все противоположные углы попарно равны: и ;
  • у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: и ;
  • все противоположные стороны попарно параллельны: и ;
  • диагонали делятся в точке их пересечения пополам: и , где  — точка пересечения диагоналей;
  • сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: .

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: , где  — сторона,  — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон и и синуса угла между ними: .

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон и и длину любой из диагоналей по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников[2]:

,

где .

Примечания

  1. 1 2 Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
  2. Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона. Дата обращения: 26 октября 2023. Архивировано 3 апреля 2022 года.

Литература

  • Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки