Теория катастроф

Теория катастроф — раздел прикладной математики, ветвь теории бифуркаций, важный инструмент для исследования динамических систем; также — специальный раздел более общей теории сингулярностей в геометрии.

История

Основы теории катастроф были заложены прежде всего в трудах американского тополога Хасслера Уитни (Hassler Whitney) в 1955 году, в 1960х этой теорией занялся французский математик и филдсовский лауреат 1958 года Рене Том (René Thom). Однако популярность идеи Уитни и Тома приобрели только благодаря нескольким публикациям Кристофера Зимана (Christopher Zeeman), в 1970х.

Запись и классификация катастроф по В. И. Арнольду

В. И. Арнольд предложил классификацию катастроф en:ADE classification, использующую глубокие связи с теорией групп Ли.

• A₀ — несингулярная точка: $V=x$.
• A₁ — локальный экстремум: устойчивый минимум или неустойчивый максимум $V=\pm x^{2}+ax$.
• A₂ — складка
• A₃ — чашка
• A₄ — ласточкин хвост
• A₅ — бабочка
• A_k — бесконечная последовательность форм от одной переменной $V=x^{k+1}+\cdots$
• D₄^- — эллиптическая омбилика
• D₄⁺ — гиперболическая омбилика
• D₅ — параболическая омбилика
• D_k — бесконечная последовательность других омбилик
• E₆ — символическая омбилика $V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy$
• E₇
• E₈

В теории сингулярности есть объекты, которые соответствуют большинству других простых групп Ли.

Применения теории катастроф

Создание и развитие этой части математического анализа было связано с широкими возможностями наглядного анализа некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений (радуга, каустика, устойчивость сложных систем, колебания и разрушение в строительной механике, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах).

См. также

• Каскад бифуркаций
• Принцип домино (математика)
• Теория сингулярностей
• Переход количественных изменений в качественные
• Единство и борьба противоположностей

Литература

На русском языке

• Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и её приложения.— М.: Мир, 1980, 607 с.
• Арнольд В. И. Теория катастроф

На английском языке

• Arnold, Vladimir Igorevich. Catastrophe Theory, 3rd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
• Gilmore, Robert. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. New York: Dover, 1993.
• Postle, Denis. Catastrophe Theory — Predict and avoid personal disasters. Fontana Paperbacks 1980. ISBN 0-00-635559-5
• Poston, Tim and Stewart, Ian. Catastrophe Theory and Its Applications. London, San Francisco, Melbourne: Pitman, 1978
• Poston, T. and Stewart, Ian. Catastrophe: Theory and Its Applications. New York: Dover, 1998. ISBN 0-486-69271-X.
• Sanns, Werner. Catastrophe Theory with Mathematica: A Geometric Approach. Germany: DAV, 2000.
• Saunders, Peter Timothy. An Introduction to Catastrophe Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1980.
• Thom, René. Structural Stability and Morphogenesis: An Outline of a General Theory of Models. Reading, MA: Addison-Wesley, 1989. ISBN 0-201-09419-3.
• Thompson, J. Michael T. Instabilities and Catastrophes in Science and Engineering. New York: Wiley, 1982.
• Woodcock, Alexander Edward Richard and Davis, Monte. Catastrophe Theory. New York: E. P. Dutton, 1978.
• Zeeman, E.C. Catastrophe Theory-Selected Papers 1972—1977. Reading, MA: Addison-Wesley, 1977.

Внешние ссылки

На английском языке

• CompLexicon: Catastrophe Theory
• Catastrophe teacher