Простое число Эйзенштейна: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

[непроверенная версия]

← Предыдущая правка

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Текущая версия от 14:43, 21 августа 2024

Наименьшие простые числа Эйзенштейна. Точки на зеленых осях соответствуют натуральным простым числам вида $3k-1$ . Все остальные, возведённые в квадрат, дают натуральное простое.

Простое число Эйзенштейна — число Эйзенштейна:

z=a+b\omega \qquad (\omega =e^{2\pi i/3})

,

являющееся неприводимым (или, эквивалентно, простым) элементом Z[ω] в смысле теории колец.

Умножение на обратимый элемент и сопряжение любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.

Целое число Эйзенштейна $z=a+b\omega$ является простым числом Эйзенштейна тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:

$z$ является произведением обратимого элемента на натуральное простое вида $3k-1$ ,
$N(z)=a^{2}-ab+b^{2}$ является натуральным простым, сравнимым с 0 (то есть равным 3) или 1 по модулю 3.

Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым $3k-1$ :

2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101 (последовательность A003627 в OEIS).

Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, не являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в Z[ω]. Примеры:

3=(1-\omega )(1+\omega ^{2})=-(1+2\omega )^{2}

7=(3+\omega )(2-\omega )

.

Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:

2+\omega ,\,3+\omega ,\,4+\omega ,\,5+2\omega ,\,6+\omega ,\,7+\omega ,\,7+3\omega

.

С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, — это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по абсолютному значению 7.

По состоянию на 2017 год наибольшим известным действительным простым числом Эйзенштейна является 10223 × 2^31172165 + 1, открытое проектом PrimeGrid^[1].

Все большие известные простые являются простыми числами Мерсенна и были найдены с помощью GIMPS. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

См. также

Гауссовы целые числа

Ссылки

↑ Chris Caldwell, «The Top Twenty: Largest Known Primes Архивная копия от 12 июня 2018 на Wayback Machine» from The Prime Pages. Retrieved 2017-03-14.

[1] Chris Caldwell, «The Top Twenty: Largest Known Primes Архивная копия от 12 июня 2018 на Wayback Machine» from The Prime Pages. Retrieved 2017-03-14.

[1]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-[[Файл:EisensteinPrimes-01.svg|360px|right|thumb|Наименьшие простые числа Эйзенштейна. Точки на зеленых осях соответствуют натуральным простым числам вида 3''n'' − 1. Все остальные, возведённые в квадрат, дают натуральное простое.]]
+[[Файл:EisensteinPrimes-01.svg|360px|right|thumb|Наименьшие простые числа Эйзенштейна. Точки на зеленых осях соответствуют натуральным простым числам вида <math>3k-1</math>. Все остальные, возведённые в квадрат, дают натуральное простое.]]
 '''Простое число Эйзенштейна''' — [[Целые числа Эйзенштейна|число Эйзенштейна]]:
-: <math>z = a + b\,\omega\qquad(\omega = e^{2\pi i/3})</math>,
+: <math>z = a + b\omega\qquad(\omega = e^{2\pi i/3})</math>,
-являющееся [[Неприводимый элемент|неприводимым]] (или, эквивалентно, [[Простой элемент|простым]]) элементом '''Z'''[ω] в смысле теории колец. [[Делимость|Делителями]] простых чисел Эйзенштейна являются только [[Обратимый элемент|обратимые элементы]] (±1, ±ω, ±ω<sup>2</sup>), ''a'' + ''b''ω и их произведения.
+являющееся [[Неприводимый элемент|неприводимым]] (или, эквивалентно, [[Простой элемент|простым]]) элементом '''Z'''[ω] в смысле теории колец.
 Умножение на обратимый элемент и [[Комплексное число|сопряжение]] любого простого числа Эйзенштейна также является простым числом Эйзенштейна.
-Целое число Эйзенштейна ''z'' = ''a'' + ''b''ω является простым числом Эйзенштейна [[тогда и только тогда]], когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:
+Целое число Эйзенштейна <math>z = a + b\omega</math> является простым числом Эйзенштейна [[тогда и только тогда]], когда выполняется одно из следующих взаимоисключающих условий:
-# ''z'' является произведением обратимого элемента на [[Простое число|натуральное простое]] вида 3''n'' − 1,
+# <math>z</math> является произведением обратимого элемента на [[Простое число|натуральное простое]] вида <math>3k-1</math>,
-# |''z''|<sup>2</sup> = ''a''<sup>2</sup> − ''ab'' + ''b''<sup>2</sup> является натуральным простым (сравнимым с 0 или 1 по модулю 3).
+# <math>N(z) = a^2 - ab + b^2</math> является натуральным простым, сравнимым с 0 (то есть равным 3) или 1 по модулю 3.
+Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым <math>3k-1</math>:
-Отсюда следует, что абсолютное значение квадрата любого целого числа Эйзенштейна является либо простым числом, либо квадратом простого числа.
-Несколько первых простых чисел Эйзенштейна, равных натуральным простым 3''n'' − 1:
 : [[2 (число)|2]], [[5 (число)|5]], [[11 (число)|11]], [[17 (число)|17]], [[23 (число)|23]], [[29 (число)|29]], [[41 (число)|41]], [[47 (число)|47]], [[53 (число)|53]], [[59 (число)|59]], [[71 (число)|71]], [[83 (число)|83]], [[89 (число)|89]], [[101 (число)|101]] ({{OEIS|id=A003627}}).
 Все натуральные простые, сравнимые с 0 или 1 по модулю 3, ''не'' являются простыми Эйзенштейна: они разложимы на нетривиальные множители в '''Z'''[ω]. Примеры:
-: 3 = −(1 + 2ω)<sup>2</sup>
+: <math>3 = (1-\omega)(1+\omega^2) = -(1 + 2\omega)^2</math>
-: 7 = (3 + ω)(2 − ω).
+: <math>7 = (3+\omega)(2-\omega)</math>.
 Несколько простых чисел Эйзенштейна, не являющихся натуральными:
-: 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω.
+: <math>2 + \omega,\, 3 + \omega,\, 4 + \omega,\, 5 + 2\omega,\, 6 + \omega,\, 7 + \omega,\, 7 + 3\omega</math>.
 С точностью до сопряжения и умножения на единицы, приведенные выше числа, вместе с 2 и 5, — это все простые числа Эйзенштейна, не превосходящие по [[Абсолютное значение|абсолютному значению]] 7.
-По состоянию {{на|2017}} наибольшим известным [[действительное число|действительным]] простым числом Эйзенштейна является 10223 × 2<sup>31172165</sup> + 1, открытое проектом [[PrimeGrid]]<ref>Chris Caldwell, «[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 The Top Twenty: Largest Known Primes] {{Wayback|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 |date=20180612162206 }}» from The [[Prime Pages]]. Retrieved 2017-03-14.</ref>.
+По состоянию {{на|2017}} наибольшим известным [[действительное число|действительным]] простым числом Эйзенштейна является 10223 × 2<sup>31172165</sup> + 1, открытое проектом [[PrimeGrid]]<ref>Chris Caldwell, «[http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 The Top Twenty: Largest Known Primes] {{Wayback|url=http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3|date=20180612162206}}» from The [[Prime Pages]]. Retrieved 2017-03-14.</ref>.
 Все большие известные простые являются [[Числа Мерсенна|простыми числами Мерсенна]] и были найдены с помощью [[GIMPS]]. Действительные простые Эйзенштейна сравнимы с 2 по модулю 3, а простые числа Мерсенна (за исключением наименьшего и них, 3) сравнимы с 1 по модулю 3. Таким образом, никакое простое число Мерсенна не является простым числом Эйзенштейна.

Простое число Эйзенштейна: различия между версиями

Текущая версия от 14:43, 21 августа 2024

См. также

Ссылки

Навигация

Поиск