Параллелограмм

Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Существуют другие варианты определения.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно). Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника. Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

Стороны параллелограмма $a,b$ и опущенные на них высоты $h_{a},h_{b}$ соотносятся следующим образом:

${\frac {a}{b}}={\frac {h_{b}}{h_{a}}}$

Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

$d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})$,

где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $d_{1}$ и $d_{2}$ — длины диагоналей. Тождество параллелограмма можно доказать, используя теорему косинусов на треугольниках, образовываемых диагоналями.

Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника (вариньонов параллелограмм).

В параллелограмме отношение меньшей из смежных сторон к большей из этих сторон не меньше тангенса половины угла между диагоналями данного параллелограмма. И указанное отношение равно указанному тангенсу тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник или ромб.

Угол между диагоналями произвольного параллелограмма (не тупой угол) содержит в своей внутренней области меньшую из смежных сторон данного параллелограмма.

Диагонали $d_{1}\leqslant d_{2}$ параллелограмма, отличного от ромба, выражаются через длины $a$ и $b$ его смежных сторон и угол $\theta$ между диагоналями данного параллелограмма, содержащий во внутренней области сторону $b$:

$d_{1}={\sqrt {\frac {{\bigl (}a\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}b\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}-{\sqrt {\frac {{\bigl (}b\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}a\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}=$

$={\sqrt {a^{2}+b^{2}-{\sqrt {(2ab)^{2}-{\bigl (}(a^{2}-b^{2})\tan \theta {\bigr )}^{2}}}}}$;

$d_{2}={\sqrt {\frac {{\bigl (}a\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}b\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}+{\sqrt {\frac {{\bigl (}b\cos {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}-{\bigl (}a\sin {\frac {\theta }{2}}{\bigr )}^{2}}{\cos \theta }}}=$

$={\sqrt {a^{2}+b^{2}+{\sqrt {(2ab)^{2}-{\bigl (}(a^{2}-b^{2})\tan \theta {\bigr )}^{2}}}}}$.

Угол $\theta$ между диагоналями произвольного параллелограмма (не тупой угол) может являться любым одним из положительных решений неравенства

$\theta \leqslant \arccos {\frac {|k^{2}-1|}{k^{2}+1}}$,

где $k$ — везде одно и то же отношение смежных сторон параллелограмма.

Равенство здесь достигается тогда и только тогда, когда данный параллелограмм — прямоугольник (если при этом $k\neq 1$) или ромб (если $k=1$).

Высоты $h_{a}$ и $h_{b}$, проведённые соответственно к сторонам $a$ и $b$ параллелограмма, который отличен от ромба и угол между диагоналями которого равен $\theta$, могут быть найдены по формулам

$h_{a}={\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2a}}$;

$h_{b}={\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2b}}$.

Здесь $\theta$ — угол, во внутренней области которого расположена меньшая из смежных сторон $a$, $b$ такого параллелограмма.

Угол $\alpha$ (не тупой) между смежными сторонами параллелограмма, отличного от ромба, выражается через длины смежных сторон $a$, $b$ и угол $\theta$ (острый) между диагоналями данного параллелограмма как

$\alpha =\arcsin {\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2ab}}$.

Угол $\theta$ (острый) между диагоналями параллелограмма, отличного от ромба, выражается через длины смежных сторон $a$, $b$ и угол $\alpha$ между ними по формуле:

$\theta =\arctan {\frac {2ab\sin \alpha }{|a^{2}-b^{2}|}}=\arctan {\frac {2S}{|a^{2}-b^{2}|}}$,

где $S$ — площадь данного параллелограмма.

И ещё, если $d_{1}$ и $d_{2}$ — диагонали данного параллелограмма, а $a$ и $b$ — смежные его стороны, то угол $\theta$ между диагоналями этого параллелограмма, содержащий во внутренней области сторону $b$, можно найти как

$\theta =\arccos {\frac {a^{2}-b^{2}}{d_{1}d_{2}}}$.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник $\square ABCD$ является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

• у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB=CD$ и $AB\parallel CD$;
• все противоположные углы попарно равны: $\angle A=\angle C$ и $\angle B=\angle D$;
• у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB=CD$ и $BC=DA$;
• все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\parallel CD$ и $BC\parallel DA$;
• диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO=OC$ и $BO=OD$, где $O$ — точка пересечения диагоналей;
• сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту: $S=bh$, где $b$ — сторона, $h$ — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон $a$ и $b$ и синуса угла $\alpha$ между ними: $S=ab\sin \alpha$.

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон $a$ и $b$ и длину любой из диагоналей $d$ по формуле Герона как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

$S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}$,

где $p=(a+b+d)/2$.

И ещё, если параллелограмм отличен от ромба, — через длины смежных сторон $a$ и $b$ и угол $\theta$ между диагоналями параллелограмма:

$S={\frac {|a^{2}-b^{2}|\tan \theta }{2}}$.

Здесь $\theta$ — угол, во внутренней области которого расположена меньшая из смежных сторон этого параллелограмма.

И можно найти площадь параллелограмма через длины $d_{1}$ и $d_{2}$ его диагоналей и длины его смежных сторон: $a$ и $b$:

$S={\frac {\sqrt {(d_{1}d_{2})^{2}-(a^{2}-b^{2})^{2}}}{2}}$.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.