Специальные функции

Специальные функции — встречающиеся в различных приложениях математики (чаще всего — в различных задачах математической физики) функции, которые не выражаются через элементарные функции. Специальные функции представляются в виде рядов или интегралов.

Специальные функции возникают обычно из следующих задач:

• «неберущиеся» интегралы;
• решения трансцендентных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
• решения дифференциальных уравнений, не выражающиеся в элементарных функциях;
• ряды, не сходящиеся к элементарным функциям;
• математическое выражение свойств чисел;
• необходимость задания функции с необычными свойствами.

Это разделение не является строгим, поскольку, например, большинство неэлементарных решений дифференциальных уравнений удалось выразить через «неберущийся» интеграл или в виде ряда. Поэтому не существует строгой классификации трансцендентных функций.

Большинство специальных функций являются трансцендентными.

Функции-интегралы

К таким специальным функциям относятся: бета-функция, гамма-функция, интегральный логарифм, интегральная экспонента, интеграл вероятности, интегральный синус, интегральный косинус, эллиптические функции, интегралы Френеля.

Функции-ряды

К таким функциям относятся гипергеометрическая функция, дзета-функция Римана, дзета-функция Гурвица, полилогарифм, дзета-функция Лерха.

Неэлементарные решения дифференциальных уравнений

К таким специальным функциям относятся: сферические функции, цилиндрические функции, функции Эйри, функции параболического цилиндра, функции Матьё, функции Бесселя.

Необычные функции

Существуют много функций с необычным поведением, придуманных для различных целей. Это функция Дирихле, функция Хевисайда.

Функции, выражающие свойства чисел

Эти функции обычно связаны с простейшими свойствами чисел. Сюда прежде всего можно отнести специальные арифметические функции, знак числа, факториал.

См. также

• Проект Бейтмена — проект по созданию многотомного энциклопедического издания по теории специальных функций

Литература

• Математический энциклопедический словарь, — Любое издание.
• Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции, — М.: Наука, 1978.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. — М.: Наука, 1965. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 1 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Наука, 1966. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 2 — 1953.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. — М.: Наука, 1967. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Higher transcendental functions. Vol. 3 — 1955.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. — М.: Наука, 1969. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 1 — 1954.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: Преобразования Бесселя. Интегралы от специальных функций. — М.: Наука, 1970. Пер. изд.: Bateman Harry, Erdelyi Arthur. Tables of integral transforms. Vol. 2 — 1954.
• Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. — М.: Мир, 1980.

Ссылки

• О. М. Киселёв. Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями.
• EqWorld.
• Bateman Manuscript Project
• Biographies: Harry Bateman
• Biographies: Arthur Erdélyi (недоступная ссылка)
• Высшие трансцендентные функции