Импульс

Импульс (количество движения) — аддитивный интеграл движения механической системы; соответствующий закон сохранения связан с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

История появления термина

Ещё в первой половине XVII века понятие импульса введено Рене Декартом. Так как физическое понятие массы в то время отсутствовало, он определил импульс как произведение «величины тела на скорость его движения». Позже такое определение было уточнено Исааком Ньютоном. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

«Школьное» определение импульса

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорость

${\vec {p}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i},$ (отсюда следует [[закон сохранения импульса]

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

${\vec {p}}=\sum _{i}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}}$,

где m_i — масса покоя i-й материальной точки.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

$p=(E/c,{\vec {p}})=\left({\frac {m_{0}c}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}},{\frac {m_{0}{\vec {v}}}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}}\right).$

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Обобщённый импульс в аналитической механике

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости $p_{i}=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}_{i}$. В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа $dp_{i}/dt=0\,\!$.

Для свободной частицы функция Лагранжа имеет вид: ${\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$, отсюда:

${\overrightarrow {p}}={\frac {m{\overrightarrow {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

Формальное определение импульса

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (инвариант относительно трансляций).

Импульс в нерелятивистской квантовой механике

Формальное определение

В квантовой механике импульсом частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

${\hat {\mathbf {P} }}=\sum _{j}{\hat {\mathbf {p} }}_{j}=\sum -i\hbar \nabla _{j}$

где $\nabla _{j}$ — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам $j$-ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

${\hat {H}}=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{\hat {\mathbf {p} }}_{i}^{2}+U(\mathbf {r_{1}} ,\dots )$

Для замкнутой системы ($U=0$) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом и импульс сохраняется.

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Механика
• Шаблон:Книга:Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.: Теория поля
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М.: Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.

См. также

• Импульс силы