Октаэдральные соты порядка 4: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Добавление ссылок на электронные версии книг (20240723)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
поменял английские тексты на русские |
||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
{| class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="320" |
{| class="wikitable" align="right" style="margin-left:10px" width="320" |
||
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2| |
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2| Октаэдральные соты порядка 4 |
||
|- |
|- |
||
|bgcolor=#ffffff align=center colspan=2|[[Файл:H3 344 CC center.png|320px]]<BR>[[Перспектива|Перспективная проекция]]<BR>в [[Конформно-евклидова модель|модели Пуанкаре]] |
|bgcolor=#ffffff align=center colspan=2|[[Файл:H3 344 CC center.png|320px]]<BR>[[Перспектива|Перспективная проекция]]<BR>в [[Конформно-евклидова модель|модели Пуанкаре]] |
||
| Строка 14: | Строка 14: | ||
|bgcolor=#e7dcc3|Грани||[[треугольник]] {3} |
|bgcolor=#e7dcc3|Грани||[[треугольник]] {3} |
||
|- |
|- |
||
|bgcolor=#e7dcc3| |
|bgcolor=#e7dcc3|Краевая фигура||[[квадрат]] {4} |
||
|- |
|- |
||
|bgcolor=#e7dcc3| Вершинная фигура||[[ Квадратный паркет]], {4,4}<BR>[[Файл:Square tiling uniform coloring 1.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 7.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 8.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 9.png|40px]] |
|bgcolor=#e7dcc3| Вершинная фигура||[[ Квадратный паркет]], {4,4}<BR>[[Файл:Square tiling uniform coloring 1.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 7.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 8.png|40px]] [[Файл:Square tiling uniform coloring 9.png|40px]] |
||
Версия от 16:53, 24 октября 2024
| Октаэдральные соты порядка 4 | |
|---|---|
 Перспективная проекция в модели Пуанкаре | |
| Тип | Гиперболические правильные соты Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли|{3,4,4} {3,41,1} | |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
      ↔    ↔   ↔  
|
| Ячейки | октаэдр {3,4} |
| Грани | треугольник {3} |
| Краевая фигура | квадрат {4} |
| Вершинная фигура | Квадратный паркет, {4,4}   
|
| Двойственные соты | Квадратные мозаичные соты[англ.], {4,4,3} |
| Группы Коксетера | [4,4,3] [3,41,1] |
| Свойства | Правильные |
В гиперболическом пространстве размерности 3 восьмиугольные соты порядка 4 — правильные паракомпактные соты. Они называются паракомпактными, поскольку имеют бесконечные вершинные фигуры со всеми вершинами как идеальные точки на бесконечности. Если многогранник задан символом Шлефли {3,4,4}, он имеет четыре октаэдра {3,4} вокруг каждого ребра и бесконечное число октаэдров вокруг каждой вершины в квадратном паркете {4,4}, в качестве расположения вершин[англ.][1].
Геометрические соты — это заполняющие пространство многогранники или ячейки большей размерности. Заполнение происходит так, что между ними не остаётся зазоров. Это пример более общего математического понятия мозаики или замощения в пространстве любой размерности.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно выпуклым однородным сотам[англ.]. Их можно построить также в неевклидовых пространствах, такие как однородные гиперболические соты[англ.]. Любой конечный однородный многогранник может быть спроецирован на его описанную сферу для образования однородных сот в сферическом пространстве.
Симметрия
Построение с половинной симметрией, [3,4,4,1+], существует как {3,41,1}, с чередованием двух видов (цветов) октаэдральных ячеек. ↔ . Второе построение с половинной симметрией, [3,4,1+,4]: ↔ . Более высокий индекс симметрии, [3,4,4*], индекс 8, существует с пирамидальной фундаментальной областью, [((3,∞,3)),((3,∞,3))]: .
Эти соты содержат , 
, которые замощают 2-гиперциклические поверхности наподобие паракомпактных мозаик 
или 
Связанные многогранники и соты
Многогранник входит в 15 правильных гиперболических сот в 3-мерном пространстве, 11 из которых, подобно этим сотам, паракомпактны и имеют бесконечные ячейки или вершинные фигуры.
| 11 паракомпактных правильных сот | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
 {6,3,3} |
 {6,3,4} |
 {6,3,5} |
 {6,3,6} |
 {4,4,3} |
 {4,4,4} | ||||||
 {3,3,6} |
 {4,3,6} |
 {5,3,6} |
 {3,6,3} |
{3,4,4} | |||||||
Имеется пятнадцать однородных сот[англ.] в [4,4,3] семействе групп Коксетера, включая эту однородную форму.
| {4,4,3}
|
r{4,4,3}
|
t{4,4,3}
|
rr{4,4,3}
|
t0,3{4,4,3}
|
tr{4,4,3}
|
t0,1,3{4,4,3}
|
t0,1,2,3{4,4,3}
|
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| {3,4,4}
|
r{3,4,4}
|
t{3,4,4}
|
rr{3,4,4}
|
2t{3,4,4}
|
tr{3,4,4}
|
t0,1,3{3,4,4}
|
t0,1,2,3{3,4,4}
|
Соты являются частью последовательности сот с вершинной фигурой в виде квадратного паркета:
| Соты {p,4,4} | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | E3 | H3 | ||||
| Форма | Аффинные | Паракомпактные | Некмпактные | |||
| Название | {2,4,4} | {3,4,4} | {4,4,4} | {5,4,4} | {6,4,4} | ..{∞,4,4} |
Coxeter
|
  
|
|
|
  |
  
|
 
|
| Image | 
|
|
|
|
|
|
| Cells |  {2,4}
|
 {3,4}
|
 {4,4}
|
 {5,4}
|
 {6,4}
|
 {∞,4}
|
Соты являются частью последовательности правильных четырёхмерных многогранников и сот с октаэдральными ячейками[англ.].
| Многогранники {3,4,p} | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Пространство | S3 | H3 | |||||||||
| Форма | Конечные | Паракомпактные | Некомпактные | ||||||||
| Название | {3,4,3} 
|
{3,4,4}
|
{3,4,5}
|
{3,4,6}
|
{3,4,7}
|
{3,4,8} 
|
... {3,4,∞}
| ||||
| Рисунок | 
|
|
|
|
|
|
| ||||
| Vertex figure |
 {4,3}
|
{4,4} 
|
 {4,5}
|
 {4,6}
|
 {4,7}
|
 {4,8}
|
 {4,∞}
| ||||
Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4
| Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
|
| |
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | r{3,4,4} or t1{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
↔ ↔ ↔
|
| Ячейки | r{4,3}  {4,4} 
|
| Грани | треугольные {3} квадратные {4} |
| Вершинная фигура | 
|
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Спрямлённые восьмиугольные соты порядка 4, t1{3,4,4}, имеют фасеты в виде кубооктаэдра и квадратного паркета, с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Усечённые восьмиугольные соты порядка 4
| Усечённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | t{3,4,4} или t0,1{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
↔ ↔ ↔
|
| Ячейки | t{3,4}  {4,4}
|
| Грани | квадратные {4} шестиугольные {6} |
| Вершинная фигура | 
|
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t0,1{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Скошенные восьмиугольные соты порядка 4
| Скошенные восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | rr{3,4,4} или t0,2{3,4,4} s2{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
 ↔
|
| Ячейки | rr{3,4}  r{4,4} 
|
| Грани | треугольник {3} квадрат {4} |
| Вершинная фигура |  треугольная призма |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Скошенные восьмиугольные соты порядка 4, t0,2{3,4,4}, имеют грани в виде ромбокубооктаэдра и квадратного паркета с вершинной фигурой в виде треугольной призмы.
Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4
| Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | tr{3,4,4} или t0,1,2{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
↔
|
| Ячейки | tr{3,4}  r{4,4}
|
| Грани | квадратные {4} шестиугольные {6} восьмиугольные {8} |
| Вершинная фигура |  тетраэдр |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Скошено-усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t0,1,2{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого кубооктаэдра и квадратного паркета с тетраэдром в качестве вершинной фигуры.
Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4
| Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные однородные соты[англ.] |
| Символы Шлефли | t0,1,3{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
↔
|
| Ячейки | t{3,4}  rr{4,4} 
|
| Грани | треугольник {3} квадрат {4} восьмиугольные {8} |
| Вершинная фигура |  квадратная пирамида |
| Группы Коксетера | [4,4,3] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Струг-усечённые восьмиугольные соты порядка 4, t0,1,3{3,4,4}, имеют фасеты в виде усечённого октаэдра и квадратного паркета с квадратной пирамидой в качестве вершинной фигуры.
Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4
| Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4 | |
|---|---|
| Тип | Паракомпактные равнобедренные соты |
| Символы Шлефли | s{3,4,4} |
| Диаграммы Коксетера — Дынкина |
↔  ↔  ↔
|
| Ячейки | квадратный паркет икосаэдр квадратная пирамида |
| Грани | {3} {4} |
| Вершинная фигура | |
| Группы Коксетера | [4,4,3+] [41,1,3+] [(4,4,(3,3)+)] |
| Свойства | вершинно транзитивны |
Плосконосые восьмиугольные соты порядка 4, s{3,4,4}, имеют диаграмму Коксетера — Дынкина . Они являются равнобедренными сотами[англ.] с квадратными пирамидами, квадратными мозаиками и икосаэдрами.
См. также
- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
- Список правильных многомерных многогранников и соединений
Примечания
- ↑ Coxeter, 1999, с. Chapter 10, Table III.
Литература
- Coxeter. Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // Regular Polytopes[англ.]. — 3rd. ed.. — Dover Publications, 1973. — С. 294–296. — ISBN 0-486-61480-8.
- Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — С. 212-213. — ISBN 0-486-40919-8.
- Jeffrey R. Weeks. Chapter 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II // The Shape of Space. — 2nd. — 2002. — ISBN 0-8247-0709-5.
- N.W. Johnson. Uniform Polytopes. — (Manuscript).
- N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
- N.W. Johnson. Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2015.
- Norman W. Johnson, Asia Ivic Weiss. Quadratic Integers and Coxeter Groups // Can. J. Math.. — 1999. — Т. 51, вып. 6. — С. 1307–1336.
 | Для улучшения этой статьи желательно:
|