Циркуляция векторного поля

Циркуля́цией ве́кторного по́ля называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по произвольному замкнутому контуру Γ. По определению

$C=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=\oint \limits _{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz}$

где $\mathbf {F} =\{F_{x},F_{y},F_{z}\}$ — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, $d\mathbf {l} =\{dx,dy,dz\}$ — бесконечно малое приращение радиус-вектора $\mathbf {l}$ вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру.

• Определение приведено для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвульную размерность пространства.

Свойства циркуляции

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру $\Gamma$ есть сумма циркуляций по контурам $\Gamma _{1}$ и $\Gamma _{2}$, то есть $C=C_{1}+C_{2}$

Аддитивность

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

$C=\sum \limits _{i}{C_{i}}$

Формула Стокса

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора $\operatorname {rot} \mathbf {F}$ через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

$\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} =\iint \limits _{S}{(\operatorname {rot} }}\mathbf {F} ,\mathbf {n} )dS$

где

$\operatorname {rot} \mathbf {F} =[\nabla ,\mathbf {F} ]=\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\\\end{matrix}}\right|$ — Ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива формула Грина

$\oint \limits _{\Gamma }{F_{x}dx+F_{y}dy}=\iint \limits _{\operatorname {int} \Gamma }{\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)dxdy}$

где $\operatorname {int} \Gamma$ — плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура).

• В произвольном n-мерном случае (где векторное произведение не определено) формулу Стокса можно записать как

$\oint \limits _{\Gamma }\mathbf {F} d\mathbf {l} =\int \limits _{S}{\bigg (}\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}{\bigg )}dS^{ij},$

где используется тензорное определение ротора и элемент двумерной площади в виде тензора второго ранга (формула записана здесь, подразумевая правило суммирования Эйнштейна; $\partial _{i}$ - означает дифференцирование по i-той координате).

Физическая интерпретация

Физическая интерпретация циркуляции: Работа поля по замкнутому контуру

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

$\forall \Gamma \subset D:\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {F} d\mathbf {l} }=0\Leftrightarrow \forall \mathbf {F} \in D:\operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {0}$

Историческая справка

Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета циркуляции жидкости по замкнутому каналу. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину равную произведению скорости движения жидкости по каналу $v'$ на длину контура l.

$C=v'l$

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена, жидкость по каналу будет двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости $v_{\tau }$. Тогда циркуляцию можно представить в виде

$C=\oint \limits _{\Gamma }{v_{\tau }dl}=\oint \limits _{\Gamma }{\mathbf {v} d\mathbf {l} }$

где dl — элемент длины контура.

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. М.: «Наука», 1960.
• Савельев И. В. Курс общей физики. Т2. М.: Астрель • АСТ, 2004.