Кватернионный анализ

Кватернионный анализ — это раздел математики, изучающий регулярные кватернионнозначные функции кватернионного переменного. Из-за некоммутативности алгебры кватернионов существуют различные неравносильные подходы к определению регулярных кватернионных функций. В данной статье будет рассматриваться, в основном, подход Фютера.

Определение регулярной функции

Рассмотрим оператор

${\bar {\partial }}={\frac {\partial }{\partial {\bar {q}}}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {i}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\vec {k}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

Функция кватернионного переменного $f\colon {\mathbb {H}}\to {\mathbb {H}}$ называется регулярной, если

${\bar {\partial }}f=0$

Гармонические функции

Пусть ${\bar {\partial }}f=0$, тогда и $\partial {\bar {\partial }}f=0$. Несложно проверить, что оператор $\partial {\bar {\partial }}$ имеет вид

$\partial {\bar {\partial }}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}=\Delta _{4}$

и совпадает с оператором Лапласа в ${\mathbb {R}}^{4}$. Таким образом, все компоненты регулярной кватернионной функции являются гармоническими функциями в ${\mathbb {R}}^{4}$. Обратно, можно показать, что для любой гармонической функции $\tau \colon {\mathbb {R}}^{4}\to {\mathbb {R}}$ существует регулярная кватернионная функция $f$ такая, что $\tau =\operatorname {Scal} \,f$. Из свойств гармонических функций разу следуют многие свойства регулярных кватернионных функций, в частности, принцип максимума.

Производная Гато

Пусть$y=f(x)$ - функция, определённая на теле кватернионов. Мы можем определить понятие левой производной $y'_{l}$ в точке $x=a$ как такое число, что

$f(x)-f(a)=y'_{l}(x-a)+o(x-a)$

где $o(x-a)$ такая функция $x$, что

$\lim _{x\to 0}{\frac {\|o(x)\|}{\|x\|}}=0$

Множество функций, которые имеют левую производную ограничено. Такие функции как

$y=axb$

$y=x^{2}$

не имеют левой производной в виду некоммутативности умножения.

Рассмотрим приращение этих функций более внимательно.

$a(x+h)b-axb=ahb$

$(x+h)^{2}-x^{2}=xh+hx+h^{2}$

Таким образом, мы можем определить производную $\partial f(x)$ как такое аддитивное отображение приращения, что

$f(x+h)-f(x)=\partial f(x)(h)+o(h)$

Нетрудно показать, что дифференциал можно определить с помощью равенства

$\partial f(x)(a)=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))$

где $t$ - действительная переменная. Следовательно, производная функции кватерниона является производной Гато.

Так как производная функции кватерниона является аддитивным отображением, то дифференциал отображения $f$ можно записать в виде

$\partial f(x)(dx)={\frac {{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}}dx{\frac {{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}}$

Здесь предполагается суммирование по индексу $s$. Число слагаемых зависит от выбора функции $f$. Выражения ${\frac {{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}}$ и ${\frac {{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}}$ называются компонентами производной.

Производная Гато удовлетворяет равенствам

$\partial (f(x)+g(x))(a)=\partial f(x)(a)+\partial g(x)(a)$

$\partial (f(x)g(x))(a)=\partial f(x)(a)\ g(x)+f(x)\ \partial g(x)(a)$

Если $y=axb$, то

$\partial f(x)(h)=ahb$

${\frac {{}_{(1)0}\partial axb}{\partial x}}=a$

${\frac {{}_{(1)1}\partial axb}{\partial x}}=b$

Если $y=x^{2}$, то

$\partial f(x)(h)=xh+hx$

${\frac {{}_{(1)0}\partial x^{2}}{\partial x}}=x$	${\frac {{}_{(1)1}\partial x^{2}}{\partial x}}=1$
${\frac {{}_{(2)0}\partial x^{2}}{\partial x}}=1$	${\frac {{}_{(2)1}\partial x^{2}}{\partial x}}=x$

Литература

• D. B. Sweetser Doing Physics with Quaternions  (англ.)
• A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.

См. также

• Комплексный анализ